Nombres complexes feuille N°1

National 1998 Série S  Exercice N° 2 (5 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O, , ).

1) Résoudre dans C l'équation (1) : (z – 2) / (z – 1) = z.
On donnera le module et un argument de chaque solution.
2) Résoudre dans C l'équation (2) (z – 2) / (z – 1) = i.
On donnera la solution sous forme algébrique.
3) Soit M, A et B les points d'affixes respectives : z, 1 et 2.
On suppose que M est distinct des points A et B.
a) Interpréter géométriquement le module et un argument de (z – 2) / (z – 1).
b) Retrouver géométriquement la solution de l'équation (2).
4)a) Montrer, à l'aide d'une interprétation géométrique,
que toute solution de l'équation dans  : [(z – 2)/(z – 1)]ⁿ = i,
où n désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle 3/2.
b) Résoudre alors dans l'équation (3) : [(z – 2)/(z – 1)]² = i.
On cherchera les solutions sous forme algébrique.

Guadeloupe 1998 Série S  Exercice N° 2 (5 points)

Partie A. On considère le polynôme P de la variable complexe z défini par :
P(z) = z⁴ + 2z³ + 8z² + 2z + 7.
1) a) Calculer P (i) et P(-i).
b) Montrer qu'il existe un polynôme Q du second degré, que l'on déterminera, tel que :
Pour tout z ÎC, P(z) = (z² + 1)Q(z).
2) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation P (z) = 0.

Partie B. Le plan est rapporté au repère orthonormal direct (O,, ) (unité graphique 2 cm).
1) Placer dans ce repère les points A, B, C et D d'affixes respectives
z_A = i, z_B = -i, z_C = - + 2i et z_D = - - 2i.
Montrer que ces quatre points appartiennent au cercle de diamètre [CD].
2) Montrer qu'il existe une rotation de centre O qui transforme C en D.
Calculer une valeur entière approchée à un degré près d'une mesure de l'angle de cette rotation.
3) Calculer, sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique, le rapport :
(z_B – z_C)/( z_A – z_C). Interpréter géométriquement le module et l'argument de ce rapport.

Corrigé : Partie A. 1) a) P (i) = 0 et P (-i). = 0
b) On peut donc factoriser P par (z – i)(z + i) = z²+1.
La méthode des coefficients indéterminés permet d'obtenir :

pour tout z de C, P(z) = (z² + 1)( z²+2z + 7).

2) P (z)= 0 équivaut à z² + 1 = 0 ou z² + 2z + 7 = 0.
On obtient l'ensemble des solutions : S = {i, -i, - + 2i, -  - 2i}.

Partie B. 1) Calculons une mesure de l'angle (,).

On a, après calculs,  : mes (,) = -p/2 modulo 2p = mes (,),
donc les points A et B appartiennent au cercle de diamètre [CD].

2) On a OC = OD =  prouve l'existence de cette rotation.
Son angle est égal modulo 2 à environ 98°.

3)Après multiplication par le conjugué du dénominateur, on trouve :
(z_B – z_C)/( z_A – z_C).= 3/2 -i/2
dont le module vaut  et l’argument à 2p -près - p/6 et donc (z_B – z_C)/( z_A – z_C) = e^-ip/6.
Le module de ce rapport représente CB/CA, et l'argument représente (,).

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