Géométrie Terminale S feuille N°1
Pondichéry
1999 Série S
EXERCICE 2 (4 points )
1. On considère un triangle ABC du plan.
a) Déterminer et construire le point G, barycentre de {(A;
1); (B; -1); (C; 1)}.
b) Déterminer et construire le point G', barycentre de {(A;
1); (B; 5); (C; -2)}.
c) Soit J le milieu de [AB].
Exprimer 
et
en fonction de 
et 
et en déduire l'intersection des droites (GG') et (AB).
d) Montrer que le barycentre I de {(B ; 2) ; (C ; -1)}
appartient à (GG').
2. Soit D un point quelconque du plan. Soient
O le milieu de [CD] et K le milieu de [OA]
a) Déterminer trois réels a, d, et c tels que K soit barycentre de {(A ; a) ;
(D ; d) ; (C ; c)}.
b) Soit X le point d'intersection de (DK) et (AC).
Déterminer les réels a' et c' tels que X soit barycentre de {(A ;a')
; (C ; c')}.
National 2001 Série S
EXERCICE 1 ( 6 points )
Soient trois points de l'espace A, B, C non
alignés et soit k un réel de l'intervalle [-1; 1].
On note Gk le barycentre du système {(A, k2
+ 1), (B, k), (C, -k)}
1. Représenter les points A, B, C, le milieu I de [BC] et
construire les points G1 et G-1.
2. a) Montrer que pour tout réel k de
l'intervalle [-1 ; 1],
on a l'égalité : 
=
-k. 
/(k2 + 1).
b) Etablir le tableau de variation de la fonction f définie sur
[-1 ; 1]
par f(x) = -x/(x2 + 1).
c) En déduire l'ensemble des points Gk quand k décrit l'intervalle [-1 ;
1].
Pour la suite de l'exercice, aucune figure n’est demandée sur la copie.
3. Déterminer l'ensemble E des points M de l'espace tels que :
||2
+ 
-
|| = ||2
- 
+ 
||.
4. Déterminer l'ensemble F des points M de l'espace tels que :
||2
+ 
-
|| = ||2
- 
- 
||.
5. L'espace est maintenant rapporté à un repère orthonormal (O ; 
; 
; 
).
Les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (0 ; 0 ; 2), (-1 ;
2 ; 1) et (-1 ; 2 ; 5).
Le point Gk et les ensembles E et F sont définis comme ci-dessus.
a) Calculer les coordonnées de G1 et G-1. Montrer que les ensembles
E et F sont sécants.
b) Calculer le rayon du cercle C intersection de E et F.
Corrigé. 5. G1(0 ; 0 ; 0),
c'est à dire que G1 = O. G-1(0 ; 0 ; 4).
Le plan E passe par le milieu A de [G1G-1], et a pour vecteur normal
le vecteur G1G-1 de coordonnées (0 ; 0 ; 4).
On en déduit une équation du plan E : z = 2.
La sphère F a pour centre G1 = O. Le point I, milieu de [BC],
a pour coordonnées (-1 ; 2 ; 3).
Le rayon de la sphère est donc égal à : IA = 
et son
équation est : x2 + y2 + z2 = 6
L'intersection de E et de F est donc caractérisée par le système :
z = 2 et x2 + y2 + z2
= 6 soit z = 2 et x2 + y2
= 2.
Ce qui prouve que E et F sont sécants et que leur intersection est le cercle de centre A
et de rayon 
.
