Probabilités terminale S

Dans tout l'exercice, A et B étant deux événements, P(A) désigne la probabilité de A ;
P(B/A) la probabilité de B sachant que A est réalisé.

1. Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans une station-service est
une variable aléatoire X dont on donne la loi de probabilité : p_i = P(X = i)

i	0	1	2
p_i	0,1	0,5	0,4

a. Définir et représenter graphiquement la fonction de répartition de X.
b. Calculer l'espérance mathématique de X.
2.Dans cette station-service, la probabilité qu'un client achète de l'essence est 0,7 ;
celle qu'il achète du gazole est 0,3. Son choix est indépendant de celui des autres clients.
On considère les événements suivants :
C₁ : " en cinq minutes, un seul client se présente " ;
C₂ : " en cinq minutes, deux clients se présentent " ;
E : " en cinq minutes, un seul client achète de l'essence " ;
a. Calculer P(C₁ Ç E).
b. Montrer que P(E/C₂) = 0, 42 et calculer P(C₂ Ç E).
c. En déduire la probabilité qu'en cinq minutes un seul client achète de l'essence.
3. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant de l'essence en cinq minutes ;
déterminer la loi de probabilité de Y.

Un jeu de dominos est fabriqué avec les sept couleurs :
violet, indigo, bleu, vert, jaune, orange, rouge.
Un domino se compose de deux cases portant chacune l'une des sept couleurs.
Chaque couleur peut figurer deux fois sur le même domino : c'est un double.
1. Montrer que le jeu comporte 28 dominos différents. Les 28 dominos, indiscernables au toucher,
sont mis dans un sac.
2. On tire simultanément trois dominos du sac.
Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux doubles parmi ces trois dominos ?
3. Dans cette question, on tire un seul domino. Calculer la probabilité des événements suivants :
a. J₂ : " Le jaune figure deux fois "
b. J₁ : " Le jaune figure une seule fois "
c. J : " Le jaune figure au moins une fois "
4. On effectue n tirages successifs d'un domino, en notant à chaque tirage
la (ou les) couleur(s) obtenue(s) avant de remettre dans le sac le domino tiré
et de procéder au tirage suivant ;les tirages sont indépendants.
Calculer, en fonction de n, la probabilité p_n, que J soit réalisé au moins une fois.
Calculer la plus petite valeur de l'entier naturel n pour laquelle p_n ³ 0, 99.

1. On dispose d'une urne U₁ contenant trois boules rouges et sept boules noires.
On extrait simultanément deux boules de cette urne ; on considère que tous les tirages sont équiprobables.
a. Quelle est la probabilité p₁ que les deux boules tirées soient rouges ?
b. Quelle est la probabilité p₂ que les deux boules tirées soient noires ?
c. Quelle est la probabilité p₃ que les deux boules tirées soient de même couleur ?
d. Quelle est la probabilité p₄ que les deux boules tirées soient de couleurs différentes ?
2. On dispose aussi d'une deuxième urne U₂ contenant quatre boules rouges et six boules noires.
On tire maintenant deux boules de l'urne U₁ et une boule de l'urne U₂ ;
on suppose que tous les tirages sont équiprobables. On considère les événements suivants :
R : " Les boules tirées sont rouges ";
D : " Les trois boules tirées ne sont pas toutes de la même couleur "
B : "La boule tirée dans l'urne U₂ est rouge ".
a. Calculer la probabilité de l'événement R.
b. Quelle est la probabilité de tirer trois boules de même couleur ?
c. Calculer la probabilité conditionnelle P_D(B) de l'événement B sachant que l'événement D est réalisé.

I. Une urne contient quatre jetons numérotés de 1 à 4.
On tire au hasard un jeton de l'urne, on lit le numéro, noté a, porté sur le jeton puis on remet
le jeton tiré dans l'urne. On tire ensuite un deuxième jeton de l'urne et on note b le numéro du jeton tiré.

Soit (O, i, j, k) un repère orthonormal de l'espace.
On considère les vecteurs U et V de coordonnées respectives(a, -5, 1 – a) et (1 + b, 1, b).
Montrer que la probabilité que ces vecteurs soient orthogonaux est égale à 1/4.

Deux personnes A et B jouent au jeu suivant, constitué d'un certain nombre
de parties identiques décrites ci-après : au cours d'une partie, chaque joueur
effectue le tirage de deux jetons décrit dans la première question. Si A obtient
deux vecteurs orthogonaux et B des vecteurs non orthogonaux, A est déclaré vainqueur,
le jeu s'arrête. Si A obtient deux vecteurs non orthogonaux et B des vecteurs orthogonaux,
B est déclaré vainqueur, le jeu s'arrête.
Dans les autre cas, les joueurs entreprennent une nouvelle partie ; le jeu continue.

Pour tout entier n, on désigne par :
A_n l'événement : « A gagne la n-ième partie »
B_n l'événement : « B gagne la n-ième partie »
C_n l'événement : « le jeu continue après la n-ième partie »
1. Calculer les probabilités p(A₁), p(B₁) et p(C₁).
2. Exprimer p(C_{n + 1}) en fonction de p(C_n) et montrer que p(C_n) = (5/8)ⁿ.

Exprimer p(A_{n + 1}) en fonction de p(C_n) et en déduire que p(A_n) = 3(5/8)^{n – 1} / 8.

III.
1. Déterminer la limite de p(A_n) quand n tend vers + ¥.
2. Déterminer le plus petit entier n tel que p(A_n) soit inférieur ou égal à 0,01.