Probabilités terminale S  - Corrigé

 

National 1998 Série S. Exercice N° 1 (5 points).

1.a. Soit F la fonction de répartition. Elle est définie par : F(x) = P(X £ x).
F est donc définie par : F(x) = 0 si x < 0 ; F(x) = 0,1 si 0 £ x < 1 ; F(x) = 0,6 si 1 £ x < 2
et F(x) = 1 si 2 £ x.
b. E(X) = 1,3.
2. a. P(C1 Ç E) = P(C1)×P(E/C1) = 0, 5 × 0, 7 = 0, 35.
b. La variable aléatoire correspondant à l’événement E/C2 vérifie une loi binomiale avec
p = 0,7, 1 – p = q = 0,3, n = 2 et k = 1 donc P(E/C2) = C21× p × q = 2 × 0, 7 × 0, 3 = 0, 42
P(C2 Ç E) = p(C2)×P(E/C2) = 0, 4 × 0, 42 = 0, 168.
c. P(E) = P(C1 Ç E) + P(C2 Ç E) = 0, 35 + 0, 168 = 0,518 en utilisant la formule des probabilités totales.
3.Y peut prendre les valeurs 0, 1 ou 2. La loi de probabilité de Y est définie par :
P(0) = 0,286 ; P(1) = 0,518 et P(2 ) = 0,196.
En effet, P(1) = P(E) = 0,518 et si F désigne l'événement " en cinq minutes, deux clients achètent de l'essence "
P(2) = P(F) = P(C1 Ç F) + P(C2 Ç F) = 0 + p(C2)×P(F/C2) = 0,4× 0, 7 × 0, 7 = 0,196.
P(F/C2) = C22 × p × p = 0,7 × 0,7.

Guadeloupe 1998 Série S. Exercice N° 1 (4 points).

1. Il existe 7 dominos comportant au moins une case violette, il en reste six comportant
au moins une case indigo (puisque le domino indigo et violet est déjà comptabilisé) etc…
d'où les 7 + 6 + 5 + 4 +3 +2 +1 = 28 dominos différents.
2. Il y a équiprobabilité, donc la probabilité cherchée est égale au rapport du nombre
de cas favorables sur le nombre de cas possibles. Le nombre de cas possibles est égal
au choix de 3 dominos parmi les 28, soit C283 . Le nombre de cas favorables est égal
au choix de 2 doubles parmi les 7, et d'un domino parmi les 21 autres restant .
Ce qui fait C72 × C211 et la probabilité recherchée est donc égale à
C72  × C211/ C283  = 21.21.6/28.27.26 = 7./4.13 = 7/52.
3. a. P(J2) = 1/ 28. ( Il existe un seul double jaune parmi les 28 dominos)
b. P(J1) = 6/28 = 3/14. (Il existe 6 dominos portant une seule fois la couleur jaune parmi les 28 dominos).
c. J étant la réunion des événements indépendant J1 et J2, on a :
P(J) = P(J1) + P(J2) = 1/4.
4. Soit K l’événement correspondant au fait que le jaune n’apparaisse aucune fois au cours de ces n tirages.
Alors pn = 1 – (3/4)n.
Cherchons maintenant n tel que pn ³ 0,99 soit 0,01 ³  (3/4)n.n = 17 après utilisation des logarithmes.

Pondichéry 1998 Série S. Exercice N° 1 (4 points).

1.a.  Nous sommes dans une situation d'équiprobabilité, par conséquent
P1 = (3/10) ´ (2/9)  = 1/15, puisque la première boule a une probabilité de 3/10 d’être rouge
(3 boules rouges sur les 10 possibles),
puis la seconde (un tirage simultané revenant à un tirage sans remise) 2/9.

b. P2 = (7/10) ´ (6/9) = 7/15.
c. Soit les deux boules tirées sont rouges, soit les deux boules tirées sont noires, donc
P3 = P1 + P2 = (1/15) + (7/15) = 8/15.
d. On reconnaît l'événement complémentaire du précédent : P4 = 1 – P3 = 7/15.

2. a. On tire deux boules rouges dans U1 et une rouge dans U2 de manière simultanée, donc :
P(R) = P1 ´ (4/10) = (1/15) ´ (4/10)= 2/75
b. Cet événement C est la réunion des événements incompatibles " les trois boules tirées sont rouges "
avec " les trois boules tirées sont noires ".
On a donc P(C) = P(R) + P2 ´ (3/10)= (2/9) + (1/15) ´ (2/9) = 7/10.
c. Commençons par calculer la probabilité de l'événement D,
qui est le complémentaire de l'événement C : P(D) = 1 – P(C) = 6/9.
Recherchons maintenant la probabilité de l'événement
La formule des probabilités conditionnelles donne : PD(B)  = P(B /~\  D)/P(D).
Or nous ne connaissons pas P(B /~\  D).
Nous allons la calculer : Comme l'on sait que toutes les boules tirées ne sont pas
de la même couleur, on peut donc dire que cet événement est
la réunion de D1 : " On a tiré deux boules noires dans U1 et une boule rouge dans U2 "
avec l'événement D2 :
" On a tiré une boule rouge et une boule noire dans U1 ainsi qu'une boule rouge dans U2"
et D1 et D2 étant incompatibles, on aura P(B /~\  D) = P(D1) + P(D2).
P(D1) = P2 ´ (1/15)= (7/15) ´ (4/10) = 7/15 et P(D2) = P4 ´ (4/10) = (4/10) ´ (4/10) = 14/75 donc
P(B /~\  D) = 28/75 et PD(B)   = P(B /~\  D)/P(D) = (28/75) / (52/75) = 7/13.

National 2002 Série S

EXERCICE 1 ( 4 points ) 

I. Les vecteurs U et V sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire U.V est nul.
Or U.V = a(1 + b) – 5.1 + (1- a)b.
Donc U et V sont orthogonaux si et seulement si a – 5 + b = 0.
Les couples de numéros lus lors du tirage dont la somme est 5 sont :
(1 ;4) ; (2 ;3) ; (3 ; 2) et (4 ;1), avec pour chaque couple (tirage avec remise)
une probabilité de tirage de (1/4)2.
La probabilité que ces vecteurs soient orthogonaux est donc de 4 ´ (1/4)2 = 1/4.
II. 1. A1 désigne l'événement : « A gagne la première partie ».
Pour réaliser A1 il faut que A obtienne des vecteurs orthogonaux et B des vecteurs non orthogonaux,
tirages indépendants de probabilités respectives 1/4 et 3/4. Par suite p(A1) = 1/4.3/4 = 3/16.
Un raisonnement semblable au précédent conduit à p(B1) = 1/4.3/4 = 3/16.
Le jeu s'arrête à la fin de la première partie lorsque l'événement A1 È B1,
union des événements incompatibles A1 et B1, est réalisé. Il se poursuit dans le cas contraire.
Par suite C1 est l’événement contraire de A1 È B1 et 
D'où P(C1) = 1 – 3/16 – 3/16) = 5/8.
II. 2.P(Cn + 1 / Cn) = 5/8 et par définition P(Cn + 1 / Cn) = P(Cn+1 Ç Cn) / P(Cn).
Mais puisque Cn+1 Ì Cn, Cn+1 Ç Cn = Cn+1, P(Cn+1 Ç Cn) = P(Cn+1) et P(Cn + 1 / Cn) = P(Cn+1) / P(Cn).
Soit P(Cn+1) = 5P(Cn)/8, donc P(Cn) est le n-ième terme de la suite géométrique de
premier terme p(C1) = 5/8 et de raison 5/8.
Il en résulte que P(Cn) = P(C1) .(5/8)n – 1 = (5/8)n. 
Pour que A gagne la (n + 1) - ième partie il faut que le jeu continue après la n-ième partie,
que A obtienne au cours de cette (n + 1) - ième partie deux vecteurs orthogonaux et que
B n'obtienne pas de vecteurs orthogonaux.
En utilisant le même raisonnement que précédemment pour Cn+1,
P(An+1/Cn ) = 3/16 or P(An+1/Cn ) = p(An+1).Donc P(An+1/Cn ) = P(An+1)/P(Cn).
Il en résulte donc que p(An) = 3(5/8)n-1/16

III. 1.Nous avons 0 < 5/8 < 1 donc la limite de P(An) lorsque n rend vers + ¥ est égale à 0.
On cherche le plus petit entier n tel que 3(5/8)n-1/16 £ 0,01.
En prenant le logarithme népérien des deux membres,
fonction croissante : (n – 1)ln(5/8) + ln3 £ ln(0,16),
après calculs, nous trouvons que la plus petite valeur de n est 8.

 

 

Accueil                         Hit-Parade                    Lycée