1° Tracer un triangle RST.
Placer un point I tel que I Î [ST].
Placer les points A, B et C , milieux respectifs des segments [RS], [RI]et [RT].
2° a) Justifier les affirmation suivantes :
.(AB) // (SI) .(AC) //(ST) .(AB) //(AC).
b) En déduire que les points A, B et C sont ....

 Solution1 proposée par Jennifer Jarry et Jessica Delcenserie élèves de 4^ème G au collège Alfred Sisley de Moret-sur-Loing :
Dans le triangle RIS , B et A sont milieux de [SR] et [IR] donc d’après le théorème des milieux :  (AB)//(SI).
Dans le triangle RTS, A et C sont les milieux de [RS] et [RT] donc d’après le théorème des milieux : (AC)//(ST).

A, B et C se trouvent  sur la même droite. Ils sont alignés.

Solution2 proposée par deux élèves de 4^ème G au collège Alfred Sisley de Moret-sur-Loing :

Dans le triangle RIS, A milieu de [RS] et B milieu de [RI] donc d’après le théorème des milieux : (AB)//(SI).

Dans le triangle RTS, A milieu de [RS] et C milieu de [RT] donc d'après le théorème des milieux : (AC) //(ST).

Nous avons prouvé que (AB)//(SI), or (SI)=(ST) et (AC)//(ST)

donc (AB) // (AC).

Mais (AB) et (AC) ont au moins un point commun : A.

(AB) et(AC) ont la même direction et passent toutes les deux par A,

(AB) et (AC) sont donc confondues et A , B et C sont alignés.

Exercice N°2 :

Enoncé :

1) Tracer un triangle [AB] de milieu I, puis le cercle C de centre I passant par A, le cercle C’ de diamètre [IA] et une droite D, passant par A, recoupant C en M et C’ en N.
2) Etant donnée une autre droite d, passant par A et recoupant C en R et C’ en S, prouver que (MR) // (NS)

Solution proposée par Thomas Gimard et Jérémy Perrier élèves de 4^ème G :

1) Dans le triangle ANI, [AI] est un diamètre du cercle C’ donc le triangle ANI est rectangle en N.

Dans le triangle AMB, [AB] est un diamètre du cercle C donc le triangle AMB est rectangle en M.
(IN) ^ (AM) et (BM) ^ (AM) donc (IN) // (BM).

I est le milieu [AB] et (IN) // (BM) donc d’après le théorème des milieux appliqué dans le triangle AMB,
N est le milieu [AM] .

2) Dans le triangle ARM la droite (NS) passe par le milieu S de [AR] et par le milieu N de [AM] donc, d’après le théorème des milieux appliqué dans le triangle ARM,
(NS) // (MR).