RESOLUTION DE L’EQUATION DU TROISIEME DEGRE par Jacques Boudier

 RESUME

Le présent article expose une méthode de résolution exacte de l’équation du troisième degré dans le corps des complexes. La méthode s’applique aussi quand les coefficients de l’équation sont réels : elle introduit le discriminant de l’équation qui permet de déterminer la nature des solutions, soit réelles soit complexes conjuguées.

 HISTORIQUE

 Quand l’équation du troisième degré s’écrit avec des coefficients réels, si les racines sont réelles, elle se résout par analogie avec la formule de cosinus(3q). L’origine de cette méthode est sans doute très ancienne. On peut aussi trouver la solution à l’aide des formules de Cardan (1501-1576) qui utilisent un artifice imaginé par Taraglia (1506-1559) : ces formules données sous forme complexe donnent en définitive les valeurs réelles des racines (casus irreducibilis). Comme on le voit, les solutions sont très anciennes.

QUESTION

Comment obtient-on les racines de l’équation du troisième degré dans le corps des complexes ? Il existe une méthode de résolution exacte , dite des composantes symétriques, que l’on expose à la suite.

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