L'enseignement et la révolution mathématique actuelle par Stéphane Dugowson (professeur agrégé, docteur en histoire des sciences, professeur à Supmeca) : MERCREDI 12 NOVEMBRE À 14 H 30 à l’institut Henri Poincaré 11 rue Pierre et Marie Curie Paris 75015. Avec notamment l'émergence de la géométrie non commutative, nous vivons aujourd'hui une révolution dans notre façon d'appréhender l'espace (donc le temps). Or l'accès aux théories mathématiques contemporaines est particulièrement difficile.

L'introduction à l'école des principes de base, extrêmement simples, de la théorie des catégories contribuera à la formation générale de l'esprit et facilitera à terme l'accès à la pensée mathématique contemporaine.

Compte-rendu de conférence par A. Larroche

Durée de la conférence : 1heure 15 minutes, suivie d’un débat sur l’introduction de la théorie des catégories dans l’enseignement des mathématiques, et à par tir de quel niveau CP, Collège, lycée ou université ?

L’entreprise Bourbakienne a été motivée par des problèmes d’enseignement. Le désir de donner des bases claires à l’enseignement des mathématiques a conduit au développement de la théorie des ensembles.

La phase actuelle est doublement dramatique.

Quelque soit l’intérêt de la théorie des ensembles ce cadre est trop réductif pour aborder les maths contemporaines et actuellement on n’enseigne rien du tout de la théorie des ensemble.

Les principes élémentaires de logique et de théorie des ensembles aident à structurer l’esprit.

Ainsi l’idée d’intersection (x Î A Ç B) se retrouve dans le quotidien, mathématicien et philosophe, de gauche et pour la laïcité par exemple.

On déstructure, on ne donne pas les bases structurelles qui leur permettraient de bâtir une pensée et en plus il faudrait passer à la théorie des catégories.

Quand allons-nous introduire la théorie des catégories ? On peut passer l’agrégation sans avoir jamais entendu parler des catégories.

Manque réellement étonnant de connaissances.

De ne pas connaître la théorie des ensembles n’a jamais empêché d’enseigner le langage ensembliste.

Les ensembles constituent une catégorie particulière insuffisante pour expliquer les mathématiques contemporaines.

(IN,+) l’addition dans IN définie comme limite inductive, avec C union disjointe de A et B et i et j deux injections.

 Pour toute injection b de T vers E et pour toute injection a de C vers e il existe une seule application g de X vers E.

X se note C T pouvant correspondre comme dans les cas précédents à l’union disjointe ou à l’addition.

X est le plus « proche » de C et T, le plus petit contenant simultanément  C et T.

Une catégorie est définie par la donnée 1) d’objets 2) de flèches entre ces objets et quelques contraintes.

La possibilité de composer les flèches.

Si A ® B ® C alors A ® C.

Il existe plusieurs stratégies, des petites et des grandes catégories.

Entre A et B il peut exister beaucoup de flèches, aucune ou une infinité.

Il existe une flèche particulière ayant un rôle neutre A®A te flèche se désignant par 1_A.

Associativité des flèches.

Exemples de catégories.

a) Catégorie des ensembles.

Objets : ensembles.

Flèches : application.

b) Dans un ensemble E partiellement ordonné.

Flèches.  Flèche sinon pas de flèche si deux éléments ne sont pas comparables.

Objets : éléments de E.

c) (IN, /). A £ B Û A / (divise) B.

Un ensemble partiellement ordonné est une catégorie particulière.

Dans ce cas X = C T du schéma précédent correspond au ppcm. (Le ppcm est une addition !).

Une catégorie duale est toujours possible. Ainsi la catégorie duale de la précédente est celle définie sur (IN, /) par A £ B Û B / (divise) A. Dans ce cas X représente le pgcd.

Pour tout a et pour tout b il existe un seul a tel que w (a(w),b(w)) Î A ´ B avec s₁ et s₂ les projections première et seconde coordonnées.

Dans chaque catégorie il peut exister des un ou plusieurs objets initiaux, notés 0.

Un élément noté 0 est appelé objet initial d’une catégorie s’il vérifie :

" objet W de la catégorie $ ! flèche telle que 0 ® W.

L’objet initial de la catégorie duale est l’objet final de la catégorie de départ.

Un élément noté 1 est appelé objet final d’une catégorie s’il vérifie :

" objet W de la catégorie $ ! flèche telle que W ® 1.

Exemples.

Sur la carégorie (P(E),Ì ) l’ensemble vide noté Æ est l’objet initial alors que E est l’objet final

Les flèches sont appelés morphismes.

Deux objets A et B sont dits isomorphes si on a A ® B et B ® A ce qui permet de définir un isomorphisme sans avoir recours à la notion d’élément.

Dans la catégorie (IN, /) 1 est élément initial puisqu’il divise tout entier et 0 est élément final puisque tout entier le divise.

Monomorphisme (ou morphisme injectif) de A vers B.

Si  B et f o a = f o b entraîne que a = b alors, f est appelé monomorphisme.

Monomorphisme défini indépendamment des éléments de A et B.

Les catégories unifient différents concepts mathématiques.

Les branches mathématiques sont interactives. Comment circuler d’une branche à l’autre ?

C’est ce que permettent les catégories.

Il existe une catégorie des catégories , une catégorie des groupes commutatifs, des topologies, des A-modules sur un anneau A, des suites courtes exactes de A-modules.

Dans la catégorie des ensembles les isomorphismes sont les bijection, dans la catégorie des groupes les isomorphismes sont les isomorphismes habituels et dans les espaces topologiques les isomorphismes sont les homéomorphismes.

Foncteurs.

Les foncteurs sont aux catégories ce que les applications sont aux ensembles.

Un foncteur F d’une catégorie A dans une catégorie B est défini par :

a)      A tout objet a de la catégorie A correspond un objet F(a) de la catégorie B.

b)      A toute flèche f de a vers b correspond une flèche notée F(f) de F(a) vers F(b).

c)      F(gof) = F(f)oF(f) pour toute flèche f et g de A.

d)      F(id_a) = id_F(a). Pour tout objet a de A.

Une bonne partie des maths consiste à établir des liens entre catégories.

Le langage des catégories permet la circulation entre les différentes branches des mathématiques.

La catégorie des ensembles peut être injectée dans une catégorie plus vaste.

La révolution dans la conception de l’espace et du temps, un siècle plus tard s’inscrit de façon profonde à travers les catégories.

D’un point de vue heuristique la théorie des catégories est supérieure à la théorie des ensembles.

La théorie des ensembles est excellente descriptivement. La théorie des catégories est dynamique.

Elle fournit un langage créant des passerelles.