Étant donnés a et b deux entiers relatifs et d le pgcd de a et b, il existe alors  deux entiers relatifs u et v tels que a.u + b.v = d. 

Démonstration. On rencontre deux types de démonstration.

a) Celle constructiviste utilisant l'algorithme d'Euclide permettant de prouver l'existence de u et v ainsi que d'en exhiber.
b) Celle existentielle utilisant les idéaux et le fait que Z soit un anneau principal.

Voici quelques liens vers des pages web où vous trouverez ces démonstrations :

académie de Clermont, tanopah et Folium par exemple.

Étant donnés deux entiers relatifs  a et b, a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe u et v entiers relatifs tels que a.u + b.v = 1.

Démonstration. On rencontre différents types de démonstration.

Voici quelques liens vers des pages web où vous trouverez ces démonstrations :

académie de Clermont, académie de Lille, tanopah et Folium par exemple.