Problème N°3 : chiffres

Donner, de tête, le nombre approximatif de chiffres (en système décimal) de 1999¹⁹⁹⁹ .

9 bonnes réponses de : Henri Huard (19/02/02), Nicolas Bernard (21/11/01), J-P Houbard (20/02/01),  Arnaud Chasseux (03/11/00), Patrice Mazauric (30/10/00), Pierre Arbeille (17/10/00), Sandrine Dasse-Hartaut(16/10/00), Prad (23/06/00) et Mathic (03/06/00), qui seront publiées dans les jours à venir.

• Solution de Henri Huard
  

  pour résoudre 1999 puissance 1999, de tête il faut arrondir à 2000 puissance 2000, on se dit que c'est égale à 2 puissance 2000       fois    1000 puissance 2000

  1000 puissance 2000     =        10^6000

   2 puissance 2000   environ égale à  2^3^600  environ égale 10 puissance 600

  donc environ égale à 10 puissance 6600

  donc 1999 puissance 1999 possède un peut plus de 6600 chiffres

   

• Solution de Nicolas Bernard
  

  Bonjour, je m'appelle Nicolas Bernard, et voici ce que je pense etre une solution pour le problème n°2 du club lycée :

   1999^1999 ~ 2000^1999=(2^1999)*(1000^1999)

   or 2^10=1024~1000

   donc, 2^1999~1000^200=10^600

   on arrive alors à, 1999^1999~(10^600)*(10^5997) ce qui représente 6597 chiffres que l'on peut aisément arrondir à 6600 chiffres.

• Solution de J-P Houbard

  le log 2 est environ 0.3 -> log 2000 est environ 3.3 (idem pour le log 1999)

  1999 * 3.3 = 6597

  1999 exp 1999 est environ égal à 10 exposant 6597

  Donc il y a environ 6598 chiffres .

• Solution de Pierre Mazauric

  Problème N°2 : Chiffres

  Donner, de tête, le nombre approximatif de chiffres (en système décimal) de 1999^1999

   

  B  20002000

  B  (2×103)2000

  B  (210)200×(103)2000

  B  (103)200×(103)2000

  B  10600×106000

  B  106600

  Le nombre 1999^1999 a environ 6600 chiffres (en système décimal)

  La bonne réponse est, je crois, 6599.

•