Problème N°1 : le Centre Perdu

Construire le centre d'une hyperbole connaissant trois de ses points  et ses directions asymptotiques.

5 bonnes solutions de : Guy Philippe (02/05/01), J-P Houbard (01/03/01), Jean Jacquelin (01/03/01), Yann Rouillard et de Pierre Renfer.

• Solution de Yann Rouillard :
  

  Construire le centre d'une hyperbole connaissant trois de ses points  et ses directions asymptotiques

   Bon pour résoudre ce problème on va utiliser 2 choses :

   - D'abord une propriété des hyperboles qui est qu'un corde de l'hyperbole possède le même milieu que le  segment qu'elle intercepte sur ses asymptotes.

  Je ne sais pas trop comment démontrer cette propriété, je suppose qu'analytiquement on doit pouvoir à force de gros calculs (on prend 2 points on calcule l'interception avec le asymptotes,  on calcule les milieux, il faudra sûrement séparer les cas où les points sont sur la même branche etc.).

  Mais je ne vois pas trop comment faire autrement, il faudrait déjà pouvoir caractériser l'asymptote géométriquement. Bon disons qu'on l'admet ou qu'on a fait les calculs et qu'on l'a vérifié.

   - Une propriété très simple à savoir que si on a un triangle ABC avec I

  milieu de BC, et un triangle A'B'C' avec I milieu de B'C' ,(BC) confondu

  avec (B'C'),  (AB) // (A'B')  et (AC) // (A'C') alors I, A et A' sont alignés.

  Propriété que l'on va démontrer de suite.

   Il suffit pour cela de considérer l'homothétie de centre I qui à B associe B', elle va évidemment associer C' à C étant donné que I est milieu de [BC]. Comme une homothétie transforme une droite en une droite //, (AC) est

  transformée en une droite // à (AC) passant par C' donc (A'C')  (merci le 5e

  postulat d'Euclide) De même (BC) est transformé en (B'C')

  Comme l'homothétie conserve les intersection elle transforme A l'intersection de (AB) et (BC) en l'intersection de (A'B') et (B'C') à savoir A'. Donc I, A et A' sont alignés.

  (Je ne démontre pas les propriétés de l'homothétie faut bien que je m'appuie sur quelque chose quand même).

  Bon revenons maintenant à nos moutons, on connaît 3 points de l'hyperbole on va donc pouvoir tracer au - 2 cordes et donc déterminer 2 milieux. D'après la propriété énoncée des hyperboles ces milieux sont aussi les

  milieux des segments interceptés sur les asymptotes.

  Considérons alors le triangle formé par les asymptotes (qu'on ne connaît pas) est ce segment. Le sommet opposé à la corde sera le centre de l'hyperbole. On ne connaît que les directions des asymptotes et le milieu d'un des segments cela définit une infinité de triangles possibles mais si j'en construit 1 le triangle que j'ai construit et le triangle formé avec les asymptotes inconnues répondent aux conditions de la 2e propriété.

      Si j'en trace 1 je pourrais donc tracer une droite joignant son sommet au milieu et je serais assuré que le centre de l'hyperbole se trouvera sur cette droite.

  On réitère l'opération pour le 2e milieu cela nous donne 2 droites dont l'intersection sera le centre de l'hyperbole !! Pratiquement on a nos 3 points on va tracer 2 droites et déterminer le milieu des 2 segments associées à l'aide d'un compas en tracent la médiatrice.

      On trace les // aux directions asymptotiques passant par les 2 extrémités du segments à l'aide du compas, (1 asymptote pour 1 extrémité, il n'y a pas d'ambiguïté quelque soit le choix on retombera sur la même droite

  car on reste dans le cadre de la 2e propriété), on trace la droite joignant le milieu au sommet obtenu.

  On refait la même opération pour le 2e segment et on trouve le centre à l'intersection.

  Voilà, voilà. Bon il manque quand même une jolie démonstration pour la propriété de l'hyperbole, j'aimerais bien savoir comment on peut la démontrer.

  Amicalement, Yann   chninkel@mail.dotcom.fr

   

• Solution de Jean Jacquelin :

Construire le centre d'une hyperbole connaissant trois de ses points et ses directions asymptotiques.

REPONSE :

Voici une solution par la géométrie analytique :

Plaçons nous dans un repère Oxy orthonormé. L'équation générales des coniques est:

                              Ay2+Bx2+Cxy+Dy+Ex+F=0                                                      (1)

Soient ?1 et ?2 les angles donnés des directions asymptotiques.

L'équation des asymptotes est : (y-x.tg(?1))(y-x.tg(?2))=0

Donc:                    A = 1

                              B = tg(?1).tg(?2)

                              C = -(tg(?1)+tg(?2))

Il reste 3 inconnues D, E, F qui sont déterminées par les trois points donnés : (x1,y1), (x2,y2) et (x3,y3) :

Tous les coefficients A, B, C, D, E et F de l'équation de la conique sont maintenant connus.

L'équation (1) peut être écrite sous la forme suivante (2), dans laquelle (x0, y0) sont les coordonnées du centre de la conique :

                        A(y-y0)2+B(x-x0)2+C(y-y0)(x-x0)+G=0                   (2)

L'égalité des coefficients de x et de y dans (1) et (2) donne :

On trouve ainsi, analytiquement, les coordonnées (x0, y0) du centre, quel que soit le type de conique considérée.

• Solution de Pierre Renfer :

1)   Un problème un peu plus général :

 A partir de cinq points A,B,C,D,E  d'une conique non dégénéré, constuire les tangentes en A et en B à la conique

 Soit le faisceau des droites passant par A et le faisceau des droites passant par B. Soit p la droite (CD) et q la droite (CE). Soit S le point d'intersection des droites (AE) et (BD). Une droite variable passant par S coupe la droite p en P et la droite q en Q.

Alors l'application h de vers , qui à la droite (AP) associe la droite (BQ) , est une homographie ; en effet c'est la composée de trois projections:

· celle de sur p

· celle de p sur q , de centre S

·  celle de q sur .

Le théorème de Chasles -Steiner assure alors que le point d'intersection M des droites (AP) et (BQ) décrit une conique passant par A et B.

Cette conique passe aussi par C,D,E ; en effet :

Si , alors Si , alors

Si , alors Cette conique coïncide avec la conique étudiée (une conique est déterminée par cinq points).

Si l'on choisit comme point P le point d'intersection des droites p et (AB), on trouve et la droite (B est la tangente en B à la conique ( étant l'intersection de q et (SSi l'on choisit comme point Q le point d'intersection des droites q et (AB), on trouve et la droite (A est la tangente en A à la conique ( étant l'intersection de p et (S2) Solution du problèmeSi A et B sont les deux points à l'infini de l'hyperbole et C,D,E les trois autres points donnés, on construit les tangentes en A et B comme ci-dessus. Le point est le point à l'infini de la droite p
Le point est donc l'intersection de q et de la parallèle à p passant par S.

Le point est le point à l'infini de la droite q

Le point est donc l'intersection de p et de la parallèle à q passant par S.

Le centre O est l'intersection des droites (B et (A

• Solution de Guy Philippe :
  

Voici une preuve par l'analytique. Soit O le centre cherché de l'hyperbole donnée H .Soit vec(i) et vect(j) 2
vecteurs donnant les directions asymptotiques de H. Notons R(O) le repère (O,vect(i),vect(j)) .L'équation de H dans R(O) sera  xy=k où k est un réel non nul à déterminer. Fixons un point I dans le plan de H et considérons le repère   R(I)=(I,vect(i),vect(j)) dans lequel les points donnés ont les coordonnées
suivantes(supposées connues) A(a,b) B(c,d) C(e,f) et O les coordonnées inconnues O(m,n).
L'appartenance de ces 3 points à H donne 3 équations en les 3 inconnues m,n
et k.
(a-m)(b-n)=k <====>ab-an-mb+mn=k (1)
(c-m)(d-n)=k <====>cd-cn-md+mn=k (2)
(e-m)(f-n)=k <====>ef-en-mf+mn=k (3)
En effectuant membre à membre les soustractions (1)-(2) puis (2)-(3) on  fait disparaître le terme du 2d degré mn ainsi que k et on aboutit ainsi à  un système de 2 équations à 2 inconnues m,n
(1)-(2) <===> ab-an-mb+mn-cd+cn+md-mn=k-k <===> m(d-b)+n(c-a)=cd-ab
(2)-(3) <===>cd-cn-md+mn-ef+en+mf-mn=k-k <===> m(f-d)+n(e-c) =ef-cd
Or les 3 points A,B,C étant situés sur H ne sont pas alignés i.e. vect(AB) et   vect(BC) sont libres donc le déterminant de leurs coordonnées est non nul   soit,compte tenu que  vect(AB)( c-a;d-b) et vect(BC)(e-c;f-d) (c-a)(f-d)-(d-b)(e-c) non nul donc le système est de Cramer et admet ainsi une solution unique pour m et n donc
pour le centre O de H. On a ainsi prouvé que s'il y avait une solution celle-ci serait unique. Le lecteur qui serait adepte de saint Thomas pourra s'il le désire exprimer   m,n et k en fonction de a,b,c,d,e,f et vérifier les 3 équations ce prouvera l'existence de la solution. Cordialement.