EURÉKA Club Mathématique Virtuel.

• Problème N° 3 : comètes
  Proposé par Ahmed Zahidi
  Une comète A est apparue dans le ciel de la côte d'azur
  il y a un an , cette comète A n'apparaît que tous les 3 ans.
  Une comète B est apparue au ciel de la côte d'azur
  il y a cinq ans , cette comète B n'apparaît que tous les 7 ans.
  Une comète C est apparue au ciel de la côte d'azur il
  y a huit ans, cette comète C n'apparaît que tous les 17 ans.. QUESTION : EN QUELLE ANNEE , ON VERRA SUR LE CIEL
  DE LA CÔTE D'AZUR FILER LES 3 COMETES A , B, C.
  
  9 bonnes réponses de : Guy Philippe(18/04/01), Colin De Bruyn (16/04/01), Pierre Gramme (03/04/01), Julien Santini (22/02/01), Louis Dupaigne (22/02/01), Sylvain Joseph (22/02/01), Jean Jacquelin (21/02/01), J-P Houbard (20/02/01) et Pierre Renfer (20/12/00).
  
  
• Solution de Guy Philippe :
  C'est un problème classique de congruences simultanées.
  Si on prend l'année dernière 2000 pour année de référence
  A apparaît les années 2000+3n
  B les années 2000-4+7m
  C les années 2000-7+17l
  D'où la première future apparition des 3 comètes lors d'une même année aura
  lieu en 2000+X avec
  X=0 (3) et X=-4 (7) et X=-7 (17) soit encore X=0 (3) et X=3 (7) et X=10 (17)
  Posons a=0,b=3 et c= 10 puis m1=3,m2=7,m3=17,M=m1.m2.m3=3.7.17=357 et enfin
  M1=M/m1=7.17=119,M2=M/m2=3.17=51,M3=M/m3=3.7=21
  comme pgcd(Mi,mi)=1 pour i=1,2,3 avec Bézout il existe xi tel que xi.Mi=1
  (mi) ce qui donne
  x1=-19,x2=-3 et x3=-4;on peut vérifier que -19.119=1 (3) , -3.51=1 (7) et
  -4.21=1 (17)
  On pose alors X=a.x1.M1+b.x2.M2+c.x3.M3 et on vérifie facilement que X
  convient
  X= 0+3.(-3).51+10.(-4).21=-1299 cette solution est déterminée modulo
  357=3.7.17 compte tenu du théorème chinois disant que les anneaux Z/(357Z)
  et Z/(3Z)xZ/(7Z)xZ/(17Z) sont isomorphes d'où la solution cherchée
  X=-1299+357.4=129 donc c'est au cours de l'an 2129 que l'on verra les 3
  comètes pour la première dans le ciel.
  Bien a vous
  GP Guy Philippe le 18/04/01
  
• Solution de Julien Santini, élève du lycée Lacordaire. :
  Il s'agit de déterminer les solutions du système constitué des deux équations: 3a-1=7b-5 (1) 7b-5=17c-8 (2), où a, b, et c sont des entiers naturels (les plus petits possibles pour trouver la prochaine date de la configuration cherchée...pour le problème on se placera dans le cas actuel : année 2001 (Bonne année!)).  (1) <=> 4=7b-3a <=> 7(b-1)+3(-a+1)=>Th de Gauss: b=3k+1, k dans N.  (2)<=> 17c-7b=3<=>17(c-1)+7(-b+2)=0=>Th de Gauss: b=-17k'+2, k' dans Z.  Ce qui nous amène à trouver le plus petit k tel que:   3k+1=-17k'+2<=>17(k'+1)+3(k-6)=0=>Th Gauss k=17u+6, u dans N.
  On trouve donc k plus petit pour u=0, ie k=6. D'où b=19, et l'on observera cette configuration des comètes dans 7b-5=128 ans, ie en l'an.....2129 !

• Solution de Jean Jacquelin :
  Supposons que ce problème ait été posé en 2000. Les plus récentes années d'apparitions sont respectivement 1999, 1995 et 1992. Les années d'apparition (a) satisfont donc respectivement à :
  (a-1999) mod 3 = 0 donc (a-1) mod 3 = 0
  (a-1995) mod 7 = 0 donc (a) mod 7 = 0
  (a-1992) mod 17 = 0 donc (a-3) mod 17 = 0
  On voit immediatement que a = -14 est une solution. Comme 3, 7 et 17 sont premiers entre eux, la fréquence est de 3x7x17=357 ans. Les années d'apparition sont donc -14, 343, 700, 1057, 1414, 1717, 2128, ...etc. ( On pouvait trouver directement ce nombre en calculant le premier multiple de 357 apres 2000, soit 357x6=2142, auquel on soustrait 14, ce qui donne 2128).
  Réponse: si le problème a été posé en 2000, la réponse est 2128.

• Solution de Sylvain Joseph :
• P donc [u,v] = Id(E).
  A est donc passée durant l'année -1 et on la reverra à l'année +2, puis
  +5,... puis durant l'année 3a+2, avec a entier naturel.
  B est passée il y a 5 ans, donc durant l'année -5. On la reverra en +2, puis en + 9,... puis en 7b+2, avec b entier naturel.
  C est passée il y a 8 ans, donc en -8. On la reverra en +9, puis en +26,... puis en 17c+9, avec c entier naturel. On cherche l'année de passage P où l'on verra les 3 comètes, soit : P = 3a+2 = 7b+2 = 17c+9
  Simplifions 3a+2 = 7b+2.
  l'équation devient 3a = 7b équivaut à a = (7/3)b. Or, a est un entier
  naturel, donc (7/3)b aussi, donc b/3 également, donc il existe z un entier
  naturel tel que :
  b = 3z et a = 7z. Essayons d'obtenir c en fonction de z dans l'équation 7b+2 = 17c+9. Ainsi, on pourra à partir de z non seulement déterminer l'année P, mais aussi le nombre de cycle de chaque comète avant P.
  Simplifions : 7b+2 = 17c+9 ssi 21z+2 = 17c+9 ssi 21z = 17c+7 ssi 3z = (17/7)c+1. Avec le même raisonnement que précédemment, il existe y un entier naturel tel que : c = 7y et 3z = 17y+1. Le but est de maintenant résoudre l'équation 3z = 17y+1. Or, on recherche P le plus petit possible, donc on cherche un couple (y,z) tel que :
  1ere condition : 17y+1 soit le plus petit possible,
  2eme condition : l'équation soit évidemment vérifiée.
  
  Or, la solution la plus petite possible de cette équation est évidente : il
  suffit de prendre y=1 et z=6 : 3*6=18=17*1+1 !! Les équations successivement posées sont :
  P = 3a+2 = 7b+2 = 17c+9
  a = 7z
  b = 3z
  c = 7y
  3z = 17y+1 avec y = 1 et z = 6.
  
  En remontant ces équations, on obtient :
  c = 7
  b = 18
  a = 42
  P = 3*42+2 = 126+2 = 128
  
  Conclusion : On verra les 3 comètes filées en même temps dans le ciel de la côte d'azur dans 128 ans (a partir de notre année de base).
  
  Sylvain JOSEPH
  
  
  
• Solution de Pierre Gramme :
  

Bonjour,

Voici mes solutions aux problèmes 3 et 4 du club université:

Comètes:

Il s'agit, en termes de congruences, de trouver les solutions au système

x = -1 (mod 3) = 2 (mod 3)

x = -5 (mod 7) = 2 (mod 7)

x = -8 (mod17)= 9 (mod 17)

D'après le lemme chinois, ce système admet une et une seule solution modulo (3*7*17=357).

Or x = 128 (mod 357) est une solution au système.

La prochaine réunion des 3 comètes la même année aura donc lieu dans 128 ans.

Pierre Gramme.

• Solution deJ-P Houbard :
  t1= -1 + 3a

t2= -5 + 7b

t3= -8+17c

avec a,b,c =entiers

Périodicité du phénomène = 3*7*17=357 ans

En faisant t1=t2=t3 on trouve une solution pour a=43, b=19 et c=8

-> t1=t2=t3=128

La solution est donc 128 + 357k (k entier )

dons on verra cela dans 128 ans et ensuite tous les 357 ans.

jp h