On suppose que le problème est de trouver une fonction réelle pour x et y réels.

1) Il est clair qu'on ne peut pas mettre cette fonction sous une forme "classique" y = f(x) . Par contre, cela devient possible si on admet d'écrire f(x) sous une forme récursive. On procède de la façon suivante :
y = [1-x^y]^(1/x).
On reporte cette expression de y dans l'expression elle-même.
y = [1-x^[[1-x^y]^(1/x)]]^(1/x)
Et ainsi de suite. Ceci donne la fonction y = f(x) suivante :

f(x) = [1-x^[[1-x^[[1-x^[[1-x^[…etc…]]^(1/x)]]^(1/x)]]^(1/x)]]^(1/x)

Toutefois, ceci est purement formel. En effet, quelle que soit la valeur de x comprise entre 0 et 1, la limite de cette expression est f(x) = 0.
Ceci se montrerait en étudiant la convergence de la série
S(n+1) = [1-x^S(n)]^(1/x). Il serait trop long et inutile de le faire ici car le même résultat est obtenu bien plus rapidement par méthode directe (réponse suivante à la question 2). Pour x=0, l'expression précédente n'est évidemment pas valide. Ce cas sera également traité plus loin).
2) Considérons la fonction F(x,y) = [x^y+y^x]
Premièrement: cas x et y positifs :
Si x>1, on a x^y>1 donc l'égalité F[x,y] = 1 ne peut pas être vérifiée. De même si y>1. Il suffit donc d'étudier la fonction F(x,y) dans le domaine 1>x>0 et 1>y>0 ( figure 1 suivante).
Figure 1: F(x,y) dans le domaine x>0, y>0 :

Il n'y a pas de solution dans le domaine des réels x et y positifs puisque F[x,y]>1.

Deuxièmement : Cas x = 0 ou y =0 :
Pour y positif, x^y tends vers 0 lorsque x tends vers 0.
F(0,y) = [0^y+y^0]=1 pour tout y positif, ce qui satisfait à la condition posée. De même, F(x,0) = [x^0+0^x] = 1 pour tout x positif, ce qui satisfait à la condition posée. On trouve donc comme solutions le demi axe x>0 et le demi axe y>0.

Troisièmement : Cas x et y négatifs :
Pour que x^y et y^x soient réels, il est nécessaire que ce soient des entiers. Posons x = -n et y = -m, avec n et m des entiers positifs. Il faut trouver n et m tels que (-1/n)^m + (-1/m)^n = 1.
Si n = m = 1 on trouve F[-n,-m] = -2 qui ne convient donc pas.
Si n = 1 et m>1 Il est évident que (-1)^m-1/m ne peut pas être un nombre entier. De même si m=1 et n>1.
Si n>1 et m>1 on a (-1/n)^m et (-1/m)^n tous deux inférieurs ou égaux à 1/4 donc F[-n,-m]<1.
Il n'y a pas de solution pour x et y négatifs.

Quatrièmement : Cas x négatif et y positif : Pour que x^y soit réel, il est nécessaire que y soit entier. Si y est un entier positif impair, F[x,y]=1/y^(-x)-(-x)^y est inférieur à 1 (premier terme inférieur à 1, second terme négatif) donc pas de solution.
Si y est un entier positif pair (y = 2n) il faut trouver F[x,2n]=1/(2n)^(-x)+(-x)^2n=1.
Cette fonction est égale à 1 pour x = 0, est supérieure à 1 pour x = -1 (car F[-1,2n] = 1/(2n)+1) et passe par un minimum entre 0 et -1.
Donc F[x,2n]=1 a une solution x réelle comprise entre 0 et -1.
La figure 2 suivante en montre quelques exemples :

Figure 2 : F(x,y) dans le domaine x<0 :

Les solutions sont obtenues par calcul numérique :

x = -0,572195 y = 2

x = -0,921566 y = 4

x = -0,968163 y = 6

x = -0,982806 y = 8

x = -0,989243 y = 10

etc.

Pour y = 2n grand, on a approximativement x = -1+1/(4.n^2).
Cinquièmement : Cas x positif et y négatif : Il suffit d'inverser x et y dans le cas précédent.

CONCLUSION :

Les solutions réelles de x^y + y^x = 1 sont :
y = 0 pour tout x positif,
x = 0 pour tout y positif ,
plus une infinité de solutions pour des valeurs discrètes de x négatif avec y positif entier pair (voir ci-dessus) ainsi que leurs symétriques en inversant x et y ( x entier pair et y négatif).

Solution de Pierre RENFER : 2 avril 2001

(E)

Pour que l'équation soit définie, il faut que : et .

D'autre part, il est nécessaire que : et , sinon le premier membre serait strictement supérieur à 1.

Fixons , où

Soit

Alors :

où :

Etudions le sens de variation de :

x	0 1
	- 0 + a-1-lna
	décroît m(a) croît -ln(-lna)

Le minimum

Un cas facile s'impose : si

Alors et la fonction s'annule une seule fois en un point r.

Le tableau de variation de f montre qu'elle ne prend que des valeurs strictement supérieures à 1 sur l'intervalle :

x	0 r 1
	+ 0 - a(1+lna)
	1 croît f(r) décroît 1+a

On conclut que l'équation (E) ne peut avoir de solutions que dans

Soit

Si la fonction g prenait la valeur 1, en un point (x,y) de , alors le minimum qu'atteint la fonction continue g sur la compact serait atteint en un point (a,b) intérieur au compact.

Alors comme g est dérivable, les deux dérivées partielles de g seraient nulles au point (a,b) :

, donc :

En faisant la combinaison des deux lignes avec les coefficients lna et -1, on obtient :

, donc :

Or cette dernière égalité est impossible si et

Finalement l'équation (E) n'a aucune solution.

Réflexion d'Alain Larroche

Bonjour,

je vous écris à propos du problème nommé , avec une pointe d'humour , relation simple par Jean-Pol Houbard.

D'abord avec du recul, et en fonction des réponses que vous avez données, cette relation ne me semble pas du tout simple:

Ainsi je pense créer une rubrique différente pour ce genre de problème (recherche?avis de recherche?Discussion?Débat?je n'ai pas encore trouvé de titre) car il n'a pas sa place dans un forum (trop de réponses et de variantes) ni dans un club.

Voilà le fruit de mes réflexions sur ce problème, je voulais savoir ce que vous en pensiez:

Si nous considérons x^y comme x puissance y alors la réponse de Pierre Renfer convient puisque x^y = exp(y.log(x)) et l'équation n'est effectivement définie que pour x>0 et y>0.

Si par contre l'équation est considérée comme un équation diophantienne (cas considérés par Jean Jacquelin et Jean-Pol Houbard) 0^x avec x rationnel strictement positif a un sens et 0^x = 0.

Mais alors les solutions me sembleraient être (0,y) avec y rationnel strictement positif ou (x,0) avec x rationnel strictement positif .

Quant au cas x < 0, y peut non seulement être un entier mais aussi un rationnel de forme irréductible p/q avec q impair puisque par exemple (-1)^(1/3) = -1 ou (-3)^(1/3) = -(3)^(1/3).

Mais dans ce cas je ne vois pas trop les solutions nouvelles que cela apporteraient en plus par rapport à celles vues par Jean Jacquelin avec x = 2n.

Voilà le débat est ouvert!A bientôt, Alain Larroche.

Réponse de Jean Jacquelin :

Bonjour,

Puisque vous voulez savoir ce que j'en pense, attendez-vous au pire…

Commençons par une question (à Monsieur Pierre Renfer, par exemple) :

Est-ce que exp(-infini)=0 ? si oui , l'exponentielle est définie.

Est-ce que, pour y>0 et x=0, (y.log(x))= -infini ? si oui, exp(y.log(x))=0 et 0^y=0.

Vous voici, mon cher Monsieur Larroche, devant un dilemme intéressant :

- soit ce qui précède est faux, ma réponse au problème "Relation Simple" est tout aussi fausse et il faut la retirer en lui collant un zéro pointé (et élevé à la puissance),

- soit c'est exact et c'est Monsieur Renfer qui est recalé au concours Espace Math! (Je sens que je ne vais pas me faire un ami…, mais, patience, attendez un peu de voir plus loin).

Pour tout dire, j'espérais quelque chose de ce genre. Qui plus est, dans ma réponse, j'ai essayé de soulever un lièvre en insistant fortement sur le cas des puissances de nombres négatifs. Pour ne pas pousser le bouchon trop loin, je me suis limité aux nombres négatifs entiers. Mais ce n'est pas l'envie qui me manquait d'enfoncer le clou avec les rationnels négatifs (comme vous le faites avec raison dans votre mail), et même avec les irrationnels négatifs !!! Voici, soumises à réflexion, les deux formules élémentaires suivantes :

Question : l'expression la plus à droite est-elle définie pour (x) irrationnel négatif ?

Question subsidiaire : l'expression à gauche est-elle égale à celle de droite ?

Question subsidiaire de subsidiaire : qu'en conclure ?

x^y=x^(2.y/2)=(x^2)^(y/2).

log(x)=(1/2).log(x^2).

Ô, scandale, monstruosité, horreur, sacrilège, … stop, j'en fait un peu trop!

Cela me rappelle un petit problème, peu sérieux, concocté voici quelque temps. Histoire de rire un peu, je vous l'envoie en document attaché à ce mail.

Il y a, bien sûr, la position dogmatique et je n'ai rien contre à priori car elle est claire, nette précise et non ambiguë, donc bien appropriée pour l'enseignement.

D'un autre point de vue, considérons (-1)^(1/3), qui est solution de l'équation x^3= -1. Cette équation a trois racines : [1+i.3^(1/2)]/2, [1-i.3^(1/2)]/2, et (-1). Elle a donc une racine bien réelle (-1). Mais, objection : on a fait une petite excursion dans le domaine des complexes avant de revenir aux nombres réels qui sont les seuls à nous intéresser ici !

Alors que dire de arccos(1/2) ? est-ce uniquement (Pi/3) ou bien est-ce (-Pi/3) ? ou faut-il considérer tous les angles à 2kPi près ? ou faut-il rejeter toutes solutions multiples, comme on rejetterais les solutions multiples de puissances rationnelles, même lorsque certaines sont bien réelles ?

Ce n'est pas du tout mon objectif que de réactiver un vieux débat. Au contraire, je suis pour les dénouements simples et vous allez voir où cela conduit (à mon avis).

Cher Monsieur Larroche, ne croyez pas vous en tirer facilement en créant une nouvelle rubrique. Comment saurez-vous à priori où placer tout nouveau problème ? Si vous l'avez mis au forum, comment prévoir si un ergoteur, un iconoclaste ou un farceur (dans mon genre direz-vous ? , ou autre …) ne trouvera pas la faille, l'imprécision, la contestation "tordue" qui vous posera un autre dilemme ?

A propos, j'ai des excuses à vous faire : Pour le problème N°1 "Le Centre Perdu", comme il n'était pas précisé que l'on attendait une solution géométrique, je vous ai envoyé la solution analytique. A ma surprise, vous l'avez acceptée, quelle largeur d'esprit !. Pour le problème N°2 "Composée", j'ai aussi essayé de vous faire "un sale coup", mais vous n'êtes pas tombé dans le panneau, bravo! je vous ai donc envoyé ensuite la solution attendue…

Alors, ne croyez-vous pas que le plus simple est de continuer comme actuellement, de reconnaître exactes et suffisantes les solutions telles qu'attendues par l'auteur du problème, de reconnaître comme tout autant acceptables les solution "atypiques" à condition qu'elles soient établies sur une base motivée et que leur logique soit irréprochable.

Et croyez bien que les solutions établies dans une logique différente de celle attendue nous intéresserons tout autant, et parfois plus, par leur originalité, ou leur propension à faire ressortir des idées méconnues, ou au contraire leur extrême rigueur ! Je ne vois aucune raison pour que cela ne rentre pas dans la rubrique du forum tel qu'il est.

Dans cet esprit, la solution proposée par Monsieur Renfer est valable, tout autant que les autres.

S'il y a contradiction entre les conclusions, la faute n'en revient pas aux démonstrations, mais elle trouve son origine dans l'énoncé du problème : insuffisance de "balisage", imprécision de vocabulaire, notations ou formules faisant appel à des sous-entendus que l'on interprète différemment ? Que sais-je ?

Ca y est, maintenant c'est à l'auteur du problème d'être mis au piquet ! (A nouveau, je sens que je ne vais pas me faire un ami…, mais, patience…).

Les problèmes sont posés dans un contexte donné et, bien évidemment, on ne peut pas y inclure tout le "background" de définitions et de vocabulaire qui serait nécessaire pour qu'aucune possibilité de variante d'interprétation ne subsiste.

Surtout, on ne doit pas faire de reproche à l'auteur qui a déjà bien du mérite à poser le problème. Il n'y a que ceux qui ne font rien qui ne risquent rien !

Aussi, je dis à Monsieur Jean-Pol Houbard : Merci pour votre problème et bravo pour cette relation SIMPLE et je confirme : simple (pour ceux qui ne vont pas chercher midi à quatorze heures! ).

Cordialement,

J.J.

P.S.: si vous voyez une utilité quelconque à transmettre mon opinion aux autres participants à cette discussion, vous le pouvez : je n'ai rien à cacher.

Paradoxe de Jean Jacquelin :

Voici un autre petit problème amusant (et simple). La solution est donnée à la suite.

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Poursuivons notre visite au petit musée des curiosités (ou bêtisier !) mathématique.

Ici, il est démontré, d'une façon très basique, que 1 = -1.

Pour cela, on utilise la formule bien connue :