Analyse fonctionnelle

1. Séparabilité : L^p est - il séparable?
   
2. Dualité :Le dual de L^p est-il L^p’ avec 1/p + 1/p' = 1?
   
3. Exemple de deux normes N et M non équivalentes,  bien qu’il existe C>0 telle que N(f)< CM(f).
   
4. Un sous-ensemble d’un espace complet qui n’est pas complet.
   
5. Une forme linéaire continue et non continue.
   
6. Un opérateur compact est borné mais la réciproque est fausse.
   
7. Une valeur propre d’un endomorphisme appartient au spectre de cet endomorphisme et réciproquement?
   
8. A toute norme N d’un espace vectoriel normé E on peut associer la distance d définie par : pour tout x et y de E, d(x,y) = N(x-y).[une telle distance est appelée distance induite par la norme N ou associée à la norme N]. Mais réciproquement, toute distance peut-elle être déduite d’ une norme N?

Anneau

1. Etant donné un anneau A, des idéaux I et J de A : I.J Ì I Ç J. Word et PDF
   
2. Module sur un anneau admettant une base ? Word et PDF
   
3. Tout A - module M sans torsion est-il libre? Word et PDF
   
4. Un idéal premier non maximal. Word et PDF
   
5. Tout anneau artinien est noethérien. Et réciproquement? Word et PDF
   
6. Un anneau noethérien n’est pas nécessairement artinien. Word et PDF

Applications et fonctions

1. Il existe q Î ]-1 ;1[ tel que qⁿ ne tende pas vers 0 lorsque n tend vers l'infini.
   
2. Point d’inflexion.
   
3. Si f est continue sur [a ;b], alors il existe c Î [a ;b] tel que : f(c)(b-a) = .
   Si f est bornée, mais non continue sur un intervalle [a ;b], qu’en est-il?
   
4. f étant une application d’un ensemble E vers un ensemble F et A et B étant des parties de E alors f(A Ç B ) Ì f( A ) Ç f( B ). Et réciproquement?
   
5. Toute fonction uniformément continue est continue, et réciproquement?
   
6. A-t-on A = f-1[f(A)] ? Word et PDF

Arithmétique

1. La proposition suivante est-elle vraie: C_p^k est divisible par p si et seulement si p et k sont premiers entre eux. Word et PDF
   
2. Si a et b sont deux entiers premiers entre eux et si a divise bc alors  a divise c (Théorème de Gauss ). La condition a et b sont deux entiers premiers entre eux est-elle indispensable? Word et PDF

Continuité et différentialité

1. Etant donné deux espaces vectoriels normés E et F et une application f de E dans F nous avons alors la propriété suivante: f différentiable en a de E Þ f continue en a. Et réciproquement? Word et PDF

Corps

1. Corps de rupture et corps de factorisation.

Espaces vectoriels

1. Espace vectoriel qui n’est pas quadrilatéral.

Morphismes

1. Un Cⁿ - difféomorphisme est nécessairement un homéomorphisme de classe Cⁿ.  Et réciproquement?
   
2. Endomorphisme injectif mais non surjectif.
   
3. Endomorphisme surjectif mais non injectif.

Polynôme

1. Un polynôme, irréductible sur Z, peut être réductible sur Z/pZ ,pour tout p premier.

Topologie

1. Normes et distances. Word et PDF