| 1. Un
sous-ensemble d’un espace complet qui n’est pas complet Soit E l’espace des fonctions à valeurs
complexes, définies et continues sur [0, 1]. Nous savons que L1 [0, 1], espace
des fonctions à valeurs complexes intégrables sur [0,1], est complet. Qu'en est-t-il de
E? Nous allons montrer que E n'est pas complet en construisant une suite de Cauchy de E ne
convergeant pas dans E. En effet, soit fn définie par fn(x)
= n, si 0 x
< 1/n2, et
fn(x) =
1/ si 1/n2
x 1.
Cette suite est bien de Cauchy puisque
si je prends deux entiers n et m tels que n m :
fn - fm
=  fn(x) - fm(x)
dx =
 (n - m)dx +  (1/ - m)dx
= (n - m).1/n 2 + 2/m
-1/m -2/n + m/n2 =
1/m - 1/n qui tend vers 0 quand m et n tendent vers
l'infini. Il semblerait que fn(x) tende vers 1/ lorsque n tend vers l'infini .
Prouvons-le :
fn - 1/ = (1/ - n)dx = 1/n ,qui tend vers 0 lorsque n tend vers
l'infini.
Or la fonction qui à x associe 1/ n’est ni définie ni continue sur [0,
1] donc n’appartient pas à E et E n’est donc pas complet. |
Tout Contre 1
