Solution de Jean
Jacquelin :
Réponse détaillée :
Note: Un logiciel
adapté a été utilisé pour réaliser cette étude. Il comporte des outils permettant
l'examen détaillé des cas particuliers (Tracé des figures, calcul automatique des
solutions, loupe, etc...). Pour obtenir ce logiciel, contacter : j.jacquelin@infonie.fr
1. Solution(s) telle(s) que [AB] soit la base du triangle isocèle et E son sommet
:Suivant que la médiatrice de [AB] coupe le cercle en deux points (E1
et E2 , figure 1a), ou est tangente ( en ET, figure 1b) ou ne coupe
pas le cercle C, on obtient respectivement 2 , 1 ou 0 solution(s) de cette première
catégorie.
Figure 1a : Le lieu des centres O tels que les deux solutions existent (triangles ABE1
et ABE2) est le domaine du plan compris entre les deux droites perpendiculaires
à AB en HA et HB respectivement, avec HAM=MHB=R
, M étant le milieu de [AB].
Figure 1b : Lorsque O est sur l'une ou l'autre des deux droites limites, E1 et
E2 sont confondus en ET . Il n'y a plus qu'une solution, le triangle
ABET.
Figure 1c : Il y a dégénérescence d'un des deux triangles lorsque son sommet E2
se trouve sur la droite AB (donc E2 ºM). C'est le
cas où OM=R, donc lorsque O est sur le cercle (Q) de centre M et de rayon R .
Figure 1d : Il y a dégénérescence des deux triangles, donc 0 solution, lorsque O se
trouve en HA ou en HB car le sommet est sur AB (E1 ºE2 ºET ºM).
Figure 1: Solution(s) telle(s) que [AB] soit la base du triangle isocèle et E son
sommet
2. Solution(s) telle(s) que A soit le sommet du triangle isocèle et [AB] un coté
Suivant que le cercle (CA) de centre A et passant par B coupe le cercle (C) en
deux points (E3 et E4 , figure 2a), ou est tangent (en ET
, figure 2b), ou ne coupe pas le cercle, on obtient 2 solutions (les triangles ABE3
et ABE4), ou 1 solution (le triangle ABET), ou 0 solution de cette
seconde catégorie.
Figure 2a : Le lieu des centres O tels que ces deux solutions existent est le domaine du
plan compris entre deux cercles (FA) et (GA) de centre A et ayant
pour rayons respectifs (AB-R) et (AB+R) . Bien évidemment, si AB<R , FA
n'existe pas et le lieu est l'intérieur, sans restriction, du cercle (GA).
Figure 2b : Lorsque O est sur l'un ou l'autre des deux cercles (FA) ou (GA),
E3 et E4 sont confondus en ET . Il n'y a plus qu'une
solution, le triangle ABET.
Figure 2c : Il y a dégénérescence d'un des deux triangles lorsque son sommet E4
se trouve sur la droite AB (donc E4 ºB). C'est le
cas où OB=R, donc lorsque O est sur le cercle (UA) de centre B et de rayon R .
De même, c'est aussi le cas où OB' =R, donc lorsque O est sur le cercle (VA)
de centre B' et de rayon R, B' étant le symétrique de B par rapport à A.
Figure 2d : Il y a dégénérescence des deux triangles, donc 0 solution, lorsque O se
trouve à l'une des deux intersections du cercle (GA) avec AB, car E3
ºE4 ºET ºB, donc le sommet est sur AB. De même si O se trouve à l'une des
deux intersections du cercle (FA), lorsqu'il existe, avec AB, car dans ce cas E3
ºE4 ºB' également sur
AB.
Notons le cas trivial : si R=AB et OºA, les cercles C et CA
sont confondus. Leur intersection donne donc une infinité de points E. Tous ces points
donnent un triangle isocèle de sommet A et de base EB (donc cette configuration conduit
à une infinité de solutions).
Figure 2 : Solution(s) telle(s) que A soit le sommet du triangle isocèle et [AB] un
coté
3. Solution(s) telle(s) que B soit le sommet du triangle isocèle et [AB] un coté
Ce cas est le symétrique du précédent et donne donc de 0 à 2 solutions. Dans le
texte du précédent (§.2) et sur la figure 2, il suffirait de remplacer A, B, B', E3,
E4, CA, FA, GA, UA, VA
par B, A, A', E5, E6, CB, FB, GB, UB,
VB respectivement et d'effectuer une symétrie par rapport à la médiatrice de
AB.
4. Résultats de la combinaison des cas observés aux §.1, 2 et 3 :
Pour une position donnée du centre O du cercle C, le résultat dépend des
intersections entre les domaines observés aux §.1, 2 et 3. On peut donc trouver de 0
à 6 solutions.
La figure 3 montre un exemple de configuration donnant 6 solutions.
Exemple de configuration donnant 6 triangles isocèles
La combinaison des trois catégories de solutions indiquées aux §.1, 2 et 3 conduit
à l'ensemble des solutions. Mais il convient de tenir compte des cas particuliers où il
y a superposition de deux triangles, donc réduction du nombre de solutions. Cela se
produit lorsque le point E se trouve à l'intersection ( point J, voir figure 2c) des
cercles CA, CB et de la médiatrice de AB, ainsi qu'au point
symétrique de J par rapport à M. Cela se produit donc lorsque O se trouve à une
distance R de J, donc sur le cercle (S) de centre J et de rayon R (figure 2c). Cela se
produit aussi lorsque O est sur le cercle (T) symétrique de (S) par rapport à M.
Les figures 4 et 5 constituent une compilation des différents cas, selon que
les deux petits cercles (FA) et (FB) sont présents ou non, et selon
les positions relatives des différents domaines et frontières déjà représentés sur
les figures 1 et 2.
Afin de réduire la taille de chaque figure, on n'a représenté qu'un quart du plan.
Les autres quarts se déduisent par symétries, relativement à la droite AB et à la
médiatrice de AB.
La figure 4 a pour but de donner une vue d'ensemble simplifiée. En effet, en
raison de la complexité et de l'encombrement, cette figure ne présente que les domaines
et frontières les plus importants , pour conserver la lisibilité. N'y sont pas tracés
les cercles sur lesquels le point O donne un ou des triangles ABE dégénérés (aplatis
sur AB). Egalement, n'y sont pas tracés les cercles sur lesquels le point O donne des
triangles ABE superposés, donc des configurations où le nombre de solutions se trouve
localement réduit. Il est tenu compte de ces cas de dégénérescence ou de superposition
sur les figures plus détaillées suivantes.
Les figures de 5a à 5i donnent les vues détaillés des différents cas, selon
le rapport entre AB et R.
Sur ces figures 4 et 5, le nombre inscrit pour chaque domaine, pour chaque frontière
et pour chaque point particulier, indique le nombre de solutions (c'est à dire de
triangles isocèles distincts) que l'on obtient lorsque le centre O du cercle C se trouve
dans ce domaine, ou sur cette frontière, ou en ce point particulier.
En fait, pour être totalement exhaustif dans la représentation graphique du cas
AB<R (figure 5i), il faudrait encore la subdiviser en plusieurs
"sous-figures" selon les positions des intersections des cercles Q, S, T et des
cercles GA et GB.
Conclusion :
Bien que, selon la position du centre O du cercle C et la valeur de R par rapport à
AB, il n'y ait que peu de solutions (de 0 à 6, si l'on fait abstraction des positions
"triviales" de O en A ou B), cette apparente simplicité cache une difficulté
importante : le recensement de toutes les configurations différentes. En effet il existe
un nombre important de configurations possibles, bien que certaines ne diffèrent
localement qu'assez peu (exemples de variantes sur la figure 5i). Cette multiplicité de
cas se retrouve dans la résolution analytique qui conduit à une équation du sixième
degré. En principe, cette équation est soluble et les six racines réelles ou complexes
peuvent être explicitées car l'équation se met facilement sous la forme d'un produit de
trois équations du second degré. En pratique, on aurait à étudier un nombre important
de cas différents selon le nombre d'extremum réels (de 1 à 5, sachant certains peuvent
être égaux entre eux) et selon les valeurs relatives de ces extremums. Il n'est pas du
tout évident que l'approche analytique soit plus simple que l'étude géométrique
"classique". Néanmoins, la résolution analytique de ce problème est ouverte
et constituerait un prolongement intéressant.
Figure 4 :Nombre de solutions, selon la position du centre O du cercle C et
pour les différents cas dépendants du rapport entre R et AB( Tous les cas
particuliers de dégénérescences ne sont pas représentés sur cette figure afin de
préserver la lisibilité ).
Figure 5a :Nombre de solutions selon la position du centre O du cercle C
dans le cas R<AB/4
Figure 5b : Nombre de solutions selon la position du centre O du cercle C
dans le cas R=AB/4
Figure 5c : Nombre de solutions selon la position du centre O du cercle C
dans le cas AB/4<R<AB/2
Figure 5d : Nombre de solutions selon la position du centre O du cercle C
dans le cas R=AB/2
Figure 5e : Nombre de solutions selon la position du centre O du cercle C
dans le cas AB/2<R<3AB/4
Figure 5f : Nombre de solutions selon la position du centre O du cercle C dans le cas
R=3AB/4
Figure 5g : Nombre de solutions selon la position du centre O du cercle C dans le cas
3AB/4<R<AB
Figure 5h : Nombre de solutions selon la position du centre O du cercle C
dans le cas R=AB
Figure 5i : Nombre de solutions selon la position du centre O du cercle C
dans le cas AB<R
Défi solutions 
Défi N°1