Démonstration : proposez votre solution qui sera publiée ici.

Démonstration proposée par Alain Bougeard (abougeard@aol.com) :

La définition habituelle donnée de la médiatrice (mot d'invention récente proposée je crois par l'APMEP au début du XX° siècle) est totalement inefficace pour démontrer la propriété classique. Il faut d'abord prouver qu'elle est équivalente à "ensemble des points équidistants des extrémités du segment" .
tout point de la médiatrice est trivialement équdistant des extrémités du segment et réciproquement tout point M équidistant de A et B détermine un triangle isocèle dans lequel la hauteur (MI) est également médiatrice ce qui prouve la réciproque.
Alors si l'on considère les deux médiatrices de [AB] et [BC] par exemple, ces deux médiatrices se coupe en un point O si et seulement si elles ne sont pas parallèles, c'est à dire ssi le triangle ABC n'est pas aplati. Dans ce cas OA=OB et OB=OC donc OA=OC et prouve ainsi que le point O appartient à la médiatrice de [BC].
Ce qui démontre le théorème " Dans un triangle non aplati, les médiatrices des cotés du triangle sont concourantes en un point équidistant des trois sommets donc centre du cercle circonscrit au triangle".
Remarque : Pourquoi avoir inventé ce mot de médiatrice d'un segment (que les élèves confondent joyeusement avec médiane) alors que l'axe de symétrie du segment faisait bien mieux l'affaire...