DIMATU

• Elément algébrique : étant donnés un corps K, un surcorps L de K, a un élément de L n'appartenant pas à K et f l'épimorphisme d'anneau de K[X] dans K[a] définie par f(X) = a. L'élément a est alors dit algébrique si Ker(f) est non nul.
• Elément de torsion : étant donnés un anneau commutatif et unitaire A et un A-module M, un élément x de M est dit de torsion s'il existe a non nul de A tel que ax = 0.
• Elément distingué : on appelle élément distingué d'une ensemble E, l'élément a défini dans l'axiome du choix.
• Elément entier : étant donné un groupe ordonné G d'élément neutre e, un élément a de G est dit entier si a < e.
• Elément entier sur un anneau : étant donné un sous-anneau unitaire A d'un anneau commutatif intègre B, on appelle élément entier de B sur A, un élément zéro d'un polynôme normalisé de A[X].
• Elément irréductible ou extrêmal : étant donné un anneau intègre A, un élément b non nul de A est dit irréductible ou extrêmal s'il n'est pas inversible et si ses diviseurs sont les éléments inversibles et les éléments de la forme au avec u inversible.
• Elément premier : étant donné un groupe ordonné G , un élément entier p de G est dit premier si ab < p entraîne a < p ou b < p.
• Elément primitif : étant donnés un corps infini K et une extension finie L de K, s'il existe a dans L tel que L = K(a) alors a est appelé élément primitif du corps infini K.
• Elément quasi-entier : étant donnés un anneau intègre A et son corps des quotients K, un élément a de K est dit quasi-entier sur A s'il existe un élément d non nul de A tel que:
  " n > 0, daⁿ Î A.
• Elément séparable : un élément algébrique a sur un corps K est dit séparable sur K s'il est un zézo d'un polynôme séparable sur K.
• Eléments associés : étant donnés un ensemble E = {a_i; i Î I }, 1 l'unité de Z et F = E ´ {-1, 1}, les éléments a¹ = (a,1) et a^-1 = (a,-1) seront dits associés.
• Eléments associés dans un anneau : deux éléments a et b d'un anneau intègre A sont dits associés s'ils vérifient simultanément: a/b et b/a.
• Eléments étrangers : deux éléments a et b d'un anneau principal A sont dits étrangers si leur PGCD est 1.
• Elément transcendant : étant donnés un corps K, un surcorps L de K, a un élément de L n'appartenant pas à K et f l'épimorphisme d'anneau de K[X] dans K[a] définie par f(X) = a. L'élément a est alors dit transcendant si Ker(f) est nul.
• Ensemble bien ordonné : si un ensemble E est ordonné de telle sorte que toute partie non vide de E admette un plus petit élément alors E est dit bien ordonné.
• Entier algébrique : étant donnés E = Q(x) une extension algébrique de degré n du corps des rationnels Q et F la fermeture intégrale de Z dans E, les éléments de l'anneau F sont appelés entiers algébriques du corps E.
• Extension abélienne : une extension L d'un corps K est dite abélienne si son groupe de Galois G(L/K) est commutatif.
• Extension algébrique : une extension L d'un corps K est dite algébrique, si tout élément x de L est algébrqiue sur K, soit zéro d'un polynôme de K[X].
• Extension finie : si la dimension d'une extension L d'un corps K, considérée comme K-espace vectoriel est finie, L est appelée extension finie de K, de degré [L:K] = dim_KL.
• Extension galoisienne : une extension L d'un corps K est dite galoisienne si elle est finie, normale et séparable.
• Extension normale : une extension finie L d'un corps K est dite normale sur K si tout polynôme irréductible sur K, qui a une racine dans L, a toutes ses racines dans L.
• Extension ordonnée : une extension L d'un corps ordonné K est dite ordonnée s'il existe sur L une structure de corps ordonné tel que le monomorphisme canonique de K dans L soit un morphisme d'anneaux ordonnés.
• Extension séparable : une extension L d'un corps  K est dite séparable si tout élément de L est séparable dans K.
• Extension simple : étant donnés un surcorps L d'un corps K et a un élément de L n'appartenant pas à K, on appelle extension simple de K le corps des quotients K(a) de l'anneau intègre K[a].