Soit u une racine de X³ - p irréductible sur Q.

                                                                               
Q(u) est isomorphe aux matrices de la forme :

En effet, soit f_t l’endomorphisme de Q(u), qui à y associe ty, t appartenant à Q(u). f_t est manifestement injectif, donc bijectif puisque Q(u) est un Q-espace vectoriel de dimension finie [sauf si t est nul car alors f_t n’est pas injective].

B= {1, u, u²} constituant une base de Q(u), soit t = a + bu + cu².

Alors f_t(1)= a+bu+cu², f_t(u)= pc+au+bu² et f_t(u²) = pb + pcu + au², d’où la matrice ci-dessus représentant f_t dans la base B.

D’autre part, l’application g de Q(u) dans l’ensemble E des endomorphismes de Q(u)
qui à t associe f_t est injective (f_t = f_v pour tout y en particulier pour y=1, d’où t= v, donc bijective de Q(u) dans g[Q(u)].

Or chaque f_t est isomorphe à une matrice M _t de la forme ci-dessus,donc g[Q(u)] est isomorphe à l’ensemble des matrices M_t (a, b, c appartenant à Q), lui-même isomorphe à Q(u).

DetM_t= a(a² - pbc) - pc(ab - pc²) + pb(b² - ac) = a³ - pabc - pabc + p²c³ + pb³ - pabc = a³ + pb³ + p²c³ - 3pabc.

S’il existait un triplet rationnel non nul, solution de l’équation (E), alors le déterminant de M_t serait nul, ce qui est impossible puisque M_t (matrice représentative d’un isomorphisme) est inversible.
(sauf dans le cas où t = 0).

Par conséquent, la seule solution rationnelle de l’équation (E) est :
le triplet nul (0;0;0).

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