Formule d'Euler et inégalité d'Euler
Etant donné un
triangle ABC, I le centre du cercle inscrit à ce triangle, D le deuxième point
d’intersection
du cercle circonscrit au triangle avec la droite (IC), R le rayon du cercle circonscrit et
r le rayon du cercle
inscrit démontrer que IC.ID = 2rR.
Solution
Etant donnés D’ le point diamétralement opposé à D, H le pied de la
perpendiculaire en I à (AC),
c = mesure de l’angle 
, b = mesure de l’angle 
et a = mesure de l’angle 
nous avons alors :
(1) : sin(c/2) = IH/IC = r/IC si nous nous plaçons dans le triangle IHC rectangle en H,
(2) : sin(c/2) = DB/DD’ = DB/2R, en effet puisque l’angle 
intercepte le
même arc que l’angle 
et que (CI) est la bissectrice de l’angle 
, mesure de 
= mesure de 
= mesure de 
= c/2.
Les égalités (1) et (2) entraînent que DB.IC = 2rR.
Or le triangle BDI est isocèle en en d puisque
=
+ 
= b/2 [car (BI) est la bissectrice de l’angle 
] + 
(
et 
sont deux angles inscrits interceptant le même arc
AD] = b/2 + a/2 [(CI) est la bissectrice de l’angle 
].
D’autre part, 
= 180° - (180° - 
- 
) = b/2 + c/2 =
. Donc ID = DB et
ID.IC = 2rR.
Remarque.
Puisque IC.ID représente la puissance du point I par rapport au cercle circonscrit à ABC de centre O, IC.ID = R2 – OI2.
Par conséquent, 2rR = R2 – OI2 et
OI2 = R2 – 2rR.
Cette dernière égalité est appelée formule d’Euler.
De cette dernière formule on déduit facilement que R² = OI² +2rR ³ 2rR d'où R ³ 2r.
Cette dernière égalité est appelée inégalité d’Euler.
