C'est pourquoi je vous envoie les quelques résultats que j'ai obtenus, en précisant bien qu'ils sont très modestes et loin d'apporter la réponse au problème.

L'expression du terme général a(n) a été établie :

Lorsqu'on développe les termes en puissance n, les racines de 3 disparaissent :

avec K=(n-1)/2 si n est impair ou K=(n/2)-1 si n est pair, autrement dit K est la partie entière de (n-1)/2.

n!/((2k+1)!.(n-2k-1)!) est un nombre entier. Donc la somme S(n) est un nombre entier.

Il s'agit de trouver combien de fois S(n) est divisible par 2 , c'est à dire de trouver m maximum tel que

S(n)/(2^m) soit entier impair. Si on y arrivait, ce serait gagné, en effet :

Pour que a(n) soit un nombre entier, il faut et suffit que m soit supérieur ou égal à (n-1).

On a successivement : S(0)=0; S(1)=1;

S(2)=2 donc m=1=n-1 et a(2) est entier.

S(3)=6, m=1<n-1 donc a(3) n'est pas entier.

S(4)=16, m=4>n-1 , a(4) est entier.

S(5)=44, m=2 ; S(6)=120, m=2 ; S(7)=328, m=3 ; tous m<n-1 ;

S(8)=896, m=7=n-1 , a(8) est entier.

etc.

La relation de récurrence est S(n)=2(S(n-1)+S(n-2)).

Le calcul numérique effectué jusqu'à n=10000 (avec un logiciel pouvant faire des opérations d'entiers ayant jusqu'à plus de cent mille chiffres) de donne pas d'autre solution que pour n=2, 4 et 8. Bien entendu, ceci n'est pas une preuve, c'est une information.

Ces résultats numériques sont visualisés sur le graphe suivant (seulement jusqu'à n=1000 pour limiter l'encombrement). On a tracé, en fonction de n, d'une part (n-1-m) qui doit être négatif ou nul pour que a(n) soit entier, et d'autre part m/(n-1) qui doit être >1 pour que a(n) soit entier.

Il apparaît clairement que, plus n est grand, plus on s'éloigne de la condition nécessaire pour que a(n) soit entier. Mais, une fois encore, cela ne démontre rien!

D'autres orientations de recherche ont-elles été prises et quel en est l'état d'avancement ?

Réponse de Pierre Renfer du 22/05/01 à 18h 41:

Solution du problème "suite et 8"

Il est intéressant de travailler dans l'anneau euclidien A=Z(rac(3)).
Soit r=1+rac(3) et s= 1-rac(3). Alors : a(n)=(r^n-s^n)/(2^n rac(3))
L'élément 2 n'est pas irréductible dans A, puisque : 2=-r*s
Les élément r et s sont irréductibles et associés : s=r*u , où u=-2+rac(3) est un élément inversible de A.
On peut simplifier l'expression de a(n) : a(n)=(1-u^n)/(rac(3)*(-s)^n)

Au dénominateur rac(3) se simplifie, mais a(n ) n'est entier que si (1-u^n) est divisible par s^n, ce qui a lieu si n est multiple de l'ordre de u, dans le groupe
multiplicatif des éléments inversibles de l'anneau quotient A/(s^n)A.
Or ce groupe a pour ordre une puissance de 2, ce qui règle la question pour tous les entiers n, non puissance de 2 : le terme a(n) ne peut alors être un entier.
Pour les puissances de 2, on peut établir par récurrence sur l'entier h, que :
Pour tout h supérieur ou égal à 2 : u^(2^h) est congru à 1+(2^(h+1))rac(3) (modulo
2^(h+2)). Ce résultat montre que a(n) n'est pas entier pour n=2^h, avec h supérieur ou égal à 4.

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