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Question d'Adams du 22/10/01 à 18h 33 :

Bonjour, ACD ET BCD sont des triangles rectangles en D tels que :
AB = 4cm
DAC = 45°
ABC =120°
Calculez la valeur exact ede la longueur BC.
MERCI D'avance.

Réponse de J-P Houbard du 24/10/01 à 15h 05 :

Comme l’angle DAC = 45°, le 3eme angle du triangle ACD rectangle en D vaut 180° - 90° - 45° = 45°. L’angle DAC = l’angle DCA = 45°.

Donc le triangle DAC est isocèle et on tire : |AD| = |DC| (1).

L’angle ABC étant obtus, le point B est entre les points A et D.

L’angle DBC = 180° - angle ABC = 60°.

Dans le triangle rectangle BDC, on a alors :

|BD| = |DC|.cotg 60° = |DC| / (3^(1/2)) (2).

Comme |AD| = |AB| + |BD|

et avec (1) et (2) ->

|DC| = 4 + |DC| / (3^(1/2))

|DC| = [4 .3^(1/2)]/[3^(1/2) – 1] (3).

|DC|² = 48/[3^(1/2) – 1]² (4).

et |BD| = |DC| - 4 = 4/ [3^(1/2) – 1]

|BD|² = 16 / [3^(1/2) –1]² (5)

Dans le triangle rectangle BDC, on a :

|BC|² = |BD|² + |DC|² (6).

(4) (5) et (6) ->

|BC|² = 64 / [3^(1/2) – 1]²

|BC| = 8 / [3^(1/2) – 1]

Réponse de Jean Jacquelin du 25/10/01 à 11h 38 :

Dans le triangle ABC, on connaît AB = 4 et les angles : b = ABC = 120° ; a = BAC = DAC = 45° puisque B, D et A sont alignés (sur la perpendiculaire à CD en D). D'où le troisième angle c = ACB = 180-45-120 = 15°.

On connaît la relation des sinus : BC/sin(a) = AC/sin(b) = AB/sin(c).

Donc BC/sin(45°) = AC/sin(120°) = 4/sin(15°)

Résultat : BC = 4.sin(45°)/sin(15°)

sin(45°) = Ö2/2

sin(15°) = Ö((-cos(30°)+1)/2) = Ö((-Ö3/2+1)/2) = (-1+Ö3)/2Ö2.

BC = 4(Ö2/2)2Ö2(-1+Ö3)/2 = 4(1+Ö3)

Conclusion : BC = 4(1+Ö3) cm.

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