Il suffit de calculer l’asymptote oblique de f(n) pour n -> +infini.

Cette asymptote a pour équation :

y = kx + b

Avec k = lim(x->infini) de (f(x) / x)

et b = lim(x->infini) de (f(x) – kx). (1)

On a donc :

f(n)=[ln(n*(t+1)-pi)-ln(n-pi)] / [ln(n+pi)-ln(n-pi)]

f(n) = ln[(n(t+1)-Pi)/(n-Pï)]/ln[(n+Pi)/(n-Pi)]

On cherche k = (lim(x->infini) ln[(n(t+1)-Pi)/(n-Pi)]/n)/[ln((n+Pi)/(n-Pi)]= 0/0

-> On applique la règle de Lhospital et on finit par trouver :

k = [ln(t+1)]/(2Pi). (2)

On recherche ensuite b en introduisant (2) dans (1).

Je n’ai pas fait le calcul, trop long mais sans réelle difficulté, par calcul numérique, on trouve que b est constant et petit . (environ 0,41, peut-être 0,5 ?)

Je laisse le soin à Gilles de faire le calcul de " b " (bon courage).

On a donc l’approximation linéaire quand n tend vers l'infini est :

y = n. [ln(t+1)]/(2Pi) + b.

Ce qui rejoint l’expression qu’il avait suggérée.

ln(n(t+1)-p) = ln(n)+ln(t+1)+ln(1-p/n(t+1))

ln(n-p) = ln(n)+ln(1-p/n)  et  ln(n+p) = ln(n)+ln(1+p/n)

f(n) = [ln(t+1)+ln(1-p/n(t+1))-ln(1-p/n)]/[ln(1+p/n)-ln(1-p/n)]

Les transformations précédentes sont rigoureusement exacte. Ensuite, on va calculer des approximations, pour n grand, en développant les différents termes en fonction de (1/n) , grâce à : ln(1+e) = e-e²/2+e³/3...

ln(1-p/n(t+1)) = -p/n(t+1)-p²/n²(t+1)²+...

ln(1-p/n) = -p/n-p²/2n²-p³/3n³+... et ln(1+p/n) = p/n-p²/2n²+p³/3n³+...

ln(1-p/n(t+1))-ln(1-p/n) = (p/n)(1-1/(t+1)+...=(p/n)t/(t+1)+...

f(n) = [ln(t+1)+(p/n)t/(t+1)+...]/[2p/n+2p³/3n³+...]

f(n) = [ln(t+1)+(p/n)t/(t+1)+...](n/2p)/[1+p²/3n²+...]

1/[1+p²/3n²+...] = 1-p²/3n²+...

f(n) = [ln(t+1)+(p/n)t/(t+1)-p²ln(t+1)/3n²+...](n/2p)

f(n) = (ln(t+1)/2p).n+t/2(t+1)-pln(t+1)/6n+...

En ne conservant que les termes qui ne tendent pas vers 0 :