Calculer Arctg(F(2n+2) + Arctg(F(2n+1) - Arctg(F(2n) .

Pour condenser les écritures, posons a=F(2n+2), b=F(2n+1) et c=F(2n).

arctg(a)+arctg(b)=arctg((a+b)/(1-ab))

arctg(a)+arctg(b)-arctg(c)=arctg((a+b-c+abc)/(1+c(a+b)-ab))

arctg(a)+arctg(b)-arctg(c)=arc cotg((1+c(a+b)-ab)/(a+b-c+abc))

a>b>c>0 donc (a+b-c+abc)>0.

La méthode consiste à montrer que (1+c(a+b)-ab)=0. Il en résulte que la cotg = 0 donc l'arc (positif) est égal à Pi/2.

-----------------------------------------------------------

Reste à montrer que (1+c(a+b)-ab)=0.

On sait que (et si on ne sait pas, il est facile de le trouver !) :

F(n)=(Øⁿ-(1-Ø)ⁿ)/5^1/2 avec Ø=(1+5^1/2)/2 (nombre d'or).

a=(زⁿ⁺²-(1-Ø)²ⁿ⁺²)/5^1/2

b=(زⁿ⁺¹-(1-Ø)²ⁿ⁺¹)/5^1/2

c=(زⁿ-(1-Ø)²ⁿ)/5^1/2

5ab=(زⁿ⁺²-(1-Ø)²ⁿ⁺²)(زⁿ⁺¹-(1-Ø)²ⁿ⁺¹)

5ab=Ø⁴ⁿ⁺³+(1-Ø)⁴ⁿ⁺³-زⁿ⁺²(1-Ø)²ⁿ⁺¹-زⁿ⁺¹(1-Ø)²ⁿ⁺²

5ab=Ø⁴ⁿ⁺³+(1-Ø)⁴ⁿ⁺³-زⁿ⁺¹(1-Ø)²ⁿ⁺¹

5ab=Ø⁴ⁿ⁺³+(1-Ø)⁴ⁿ⁺³-(Ø-ز)²ⁿ⁺¹

5ab=Ø⁴ⁿ⁺³+(1-Ø)⁴ⁿ⁺³+1.

car ز-Ø-1=0 donc : (Ø-ز)=-1.

Calcul de ac :

5ac=(زⁿ⁺²-(1-Ø)²ⁿ⁺²)(زⁿ-(1-Ø)²ⁿ)

5ac=Ø⁴ⁿ⁺²+(1-Ø)⁴ⁿ⁺²-زⁿ⁺²(1-Ø)²ⁿ-زⁿ(1-Ø)²ⁿ⁺²

5ac=Ø⁴ⁿ⁺²+(1-Ø)^'n+2-زⁿ(1-Ø)²ⁿ(2ز-2Ø+1)

زⁿ(1-Ø)²ⁿ=(Ø-ز)²ⁿ=1 et (2ز-2Ø+1)=3

donc 5ac=Ø⁴ⁿ⁺²+(1-Ø)⁴ⁿ⁺²-3

Calcul de bc :

5bc=(زⁿ⁺¹-(1-Ø)²ⁿ⁺¹)(زⁿ-(1-Ø)²ⁿ)

5bc=Ø⁴ⁿ⁺¹+(1-Ø)⁴ⁿ⁺¹-زⁿ⁺¹(1-Ø)²ⁿ-زⁿ(1-Ø)²ⁿ⁺¹

5bc=Ø⁴ⁿ⁺¹+(1-Ø)⁴ⁿ⁺¹-زⁿ(1-Ø)²ⁿ

5bc=Ø⁴ⁿ⁺¹+(1-Ø)⁴ⁿ⁺¹-1

Au total, on trouve :

5(1+c(a+b)-ab)=5+Ø⁴ⁿ⁺²+(1-Ø)⁴ⁿ⁺²-3+Ø⁴ⁿ⁺¹+(1-Ø)⁴ⁿ⁺¹-1-Ø⁴ⁿ⁺³-(1-Ø)⁴ⁿ⁺³-1.

5(1+c(a+b)-ab)=-Ø⁴ⁿ⁺³+Ø⁴ⁿ⁺²+Ø⁴ⁿ⁺¹-(1-Ø)⁴ⁿ⁺³+(1-Ø)⁴ⁿ⁺²+(1-Ø)⁴ⁿ⁺¹.

5(1+c(a+b)-ab)=Ø⁴ⁿ⁺¹(-ز+Ø+1)+(1-Ø)⁴ⁿ⁺¹(-(1-Ø)²+(1-Ø)+1).

(-(1-Ø)²+(1-Ø)+1)=(-ز+Ø+1)=0

donc 5(1+c(a+b)-ab)=0 : CQFD.

Conclusion :

arctg(F(2n+2))+arctg(F(2n+1))-arctg(F(2n))=Pi/2.

Réponse de Richard André-Jeannin du 24/06/01à 14h 29 :

(L(0)=2, L(1)=1)

• Envoyer votre réponse.