|
|
- Question :
- Problème de bissectrice: On désigne
par AD la bissectrice intérieure du triangle ABC issue du point A. On suppose connus les
points A et D et le rapport (AB+AC)/(BC).
1) évaluer les rapports BA/BD et CA/CD et en déduire le lieu des points B et C.
2) construire le triangle connaissant les longueurs AD, BC et (AB+AC).(C'est cette
dernière question qui me pose problème).
|
|
- Réponse
d'Alain
- 1) Nous posons AB = c, AC = b et BC = a,
Nous avons vu dans la page Faisceau harmonique que BD/CD =
c/b or BD + CD = BC = a, donc (a - CD)/CD = c/b et après produit en croix:
cCD = ab - bCD soit CD = ab/(b+c).
D'autre part, CA/CD = b/CD = b(b+c)/ab = (b+c)/a = k = constante puisque par hypothèse
(c+b)/a est supposé connu.
- Un calcul analogue établirait que BA/BD
= (b+c)/a = k = constante .
- Le lieu de B et C est donc le cercle (C)
de diamètre [IJ] avec I barycentre de {(A;1),(D;k)} et J barycentre de {(A;1),(D;-k)}.
- 2) La construction découle du 1) En
effet il suffit de placer I et J sur [AD] car alors nous aurons déterminer O centre du
cercle (C) car milieu de [IJ] ensuite on prend un point quelconque B de (C)/{I,J} puis C
est obtenu par intersection de (C) et de (BD) .
Une telle construction s'effectue de la façon
suivante:
On prend une droite (d) quelconque
passant par A ( différente de (AD)), puis on reporte sur cette droite le point K tel que
AK = 1 cm et le point L sur la droite (d') parallèle à (d) passant par D tel que DL = k
cm ( il existe bien sûr deux points L possibles).
Les point recherchés I et J sont alors
les intersections de (KL) avec (d').
Cette construction, classique,
utilise le théorème de Thalès. Alain.
- Réponse de BuBu
:
Bonjour, Alain et encore merci pour les solutions envoyées aux 2 problèmes posés. Sur
le problème de bissectrice, je suis d'accord avec vous à une exception près : pour la
construction de la 2ème question, vous préconisez de "prendre un point quelconque B
sur le cercle (C)..." Ceci n'est pas juste, car un point B quelconque ne garantit pas
l'hypothèse BC = longueur connue et le fait que AD doit être bissectrice de l'angle BAC.
Mais votre texte m'a conduit à la solution : j'ai tracé d'abord AD (connus), ai
positionné les points I, J, leur milieu O, centre du cercle. Les points I et J sont bien
les conjugués harmoniques de A et D dans le rapport k = (AB+AC)/BC connu.
Pour tracer BC sur le cercle (O), connaissant le pied D de la bissectrice AD, BC doit
passer par D et la valeur de BC est connue. BC est une corde du cercle (O) vue du centre
selon un angle 2x tel que sin (x) = BC/2R. Donc l'angle x est connu. Soit F le milieu de
la corde BC (OF est médiatrice de BC). FO est donc aussi une longueur connue car FO =
R.cos(x). Soit y l'angle formé par les droites OD et OF. On a : cos(y)=OF/OD. Donc cos(y)
= R.cos(x)/OD. OD étant donnée, l'angle "y" se calcule par la formule
précédente. La construction de B et C est alors simple : on trace OD, on trace la droite
faisant un angle "y" connu avec OD. On positionne sur cette droite le point F
tel que OF=R.cos(x), on joint DF : cette droite coupe le cercle (O) aux deux points B et C
cherchés. Il y a, bien sûr, 2 solutions selon que l'on place F à droite ou à gauche de
D. Ce que je n'arrivais pas à
tracer, c'était la corde BC (longueur connue) dans un cercle (O) tracé et devant passer
par un point D intérieur au cercle. Il y a 2 cordes BC répondant au problème (à
condition que BC<2R). Votre solution m'a aiguillé correctement.
A bientôt de lire encore vos
solutions.
|
|
Bissectrice
