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 Question de djelloul sebaa
du 02/06/01 à 00h 29 :
Salut amis du forum! Soit deux
droites parallèles (D1) et (D2), soit la sécante (D3) perpendiculaire aux droites D1 et
D2 et coupant celles-ci, respectivement aux points D et C. Soient les points A et B
appartenant respectivement aux droites D1 et D2, notons par E le point d'intersection des
deux côtés AC et DB. Soit le point F le projeté orthogonal du point E sur la droite
(D3).
Application numérique :
AC= 3m , DB= 2m , EF= 1m
Question : calculer la longueur DF ?
Merci et à bientôt.
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Réponse de J-P Houbard du
03/06/01 à 19h 30 :
Dans les triangles rectangles ADC et
DCB :
|AD|² + |DC|² = 9
|BC|² + |DC|² = 4
-> |AD|² = |BC|² + 5 (Eq1).
Les triangles EFC et ADC sont semblables et les triangles EFD et BCD sont
semblables :
|DF|/|DC| = |FE|/|BC| = |DE|/|DB| (Eq 2).
|FC|/|DC| = |FE|/|AD| = |EC|/|AC| (Eq 3).
Avec |FC| = |DC|-|DF|, l'éq 3 devient :
(|DC|-|DF|) / |DC| = |FE|/|AD| = |EC|/|AC|.
1 - (|DF|/|DC|) = |FE|/|AD| = |EC|/|AC. (Eq 4).
Eq 2 et 4 -> 1 - (|FE|/|BC|) = |FE|/|AD|.
Avec |FE|=1 -> 1 - (1/ |BC|) = 1 / |AD|.
|AD| = |BC| / (|BC| -1). (Eq 5).
Eq 1 et 5 , on élimine |AD| et après simplification, il vient :
|BC|^4 - 2|BC|³ + 5|BC|² - 10|BC| + 5 = 0.
En résolvant cette équation, on trouve 2 racines réelles, l'une d'entre elle
est rejetée car elle amènerait une longueur négative pour |AD|.
Il reste donc uniquement |BC| = 1,576123.
Et dans Eq 5 -> |AD| = 2,73572.
Et de l'eq 3, on tire : |CE| = |AC|.|FE| / |AD|
-> |CE| = 1,09660.
Et dans le triangle EFC, on a : |CE|² = |FC|² + |FE|² -> |FC| = 0,45004.
Eq 3 donne alors : |DC| = |FC|.|AD| / |FE|
-> |DC| = 1,231185.
Et avec |DF| = |DC| - |FC|
-> |DF| = 0.781145 mètre.
J-P Houbard.
Réponse de Jean Jacquelin du
04/06/01 à 10h 49 :Ce problème a déjà été posé sur ce forum sous le titre
"Echelles".
Voir les solutions apportées par M. Houbard et de moi-même.
Il suffit de remplacer les valeurs numériques précédentes (7,4,2) par les nouvelles
(3,2,1).
Avec les nouvelles notations, la résolution de CD=2.cos(d)=3.cos(c)=1.(cotg(c)+cotg(d))
donne le résultat : CF=cotg(c)=0,450... et DF=cotg(d)=0,781...
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Calcul de segment
