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 Question de Guy Philippe du
13/06/01 à 13h 17 :
Bonjour, si E et F sont 2
ensembles équipotents alors les ensembles respectifs de leurs parties P(E) et P(F) sont
aussi équipotents (facile) mais la réciproque ??? Qu'en pensez-vous? |
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Réponse de J-P Houbard :
Je ne sais pas si j'ai bien
interprété la question.
Pour moi, 2 ensembles E et F sont équipotents s'il existe une bijection de E sur F. C'est
à dire si tout élément de F est l'image par « f » d'un élément de E et
que deux éléments distincts de E ont toujours pour image par « f » deux éléments
distincts de F.
Pour dire que les ensembles respectifs de leurs parties P(E) et P(F) sont aussi
équipotents, on admet déjà que les sous-ensembles ont été « découpés »
correctement.
Qu'est-ce Guy Philippe entent par réciproque ?
S'il s'agit d'avoir plusieurs couples d'ensembles équipotents (E1 et F1, E2 et F2, .) et
d'essayer de les unir pour former 2 ensembles équipotents, cela ne va pas.
Raison :
La relation qui relie les éléments de E1 à F1 peut être différente et inconciliable
avec celle reliant les éléments de E2 à F2 et donc il n'y a pas de bijection possible
de (E1 U E2) sur (F1 U F2).
Par ces relations différentes, il est possible aussi que E1 et E2 aient un élément
commun correspondant à des éléments différents dans F1 et F2 et ceci empêcherait
également la bijection sur les ensembles unis.
Réponse de Guy Philippe du
15/06/01 à 16h 11 :
Effectivement s'il existe une bijection
entre 2 ensembles E et F on dit qu'ils sont équipotents ce qui est aussi valables pour
les 2 ensembles P(E) et P(F).
La question est donc : si P(E) et P(F) sont équipotents E et F sont-ils nécessairement
équipotents aussi?
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Cardinaux 
