REPONSES :

Je vous envoie (fichiers ci-joints) ce que j’ai trouvé marchant sur le Plus court chemin du Forum (29/11/00). Parmi tous les parcours: Ceux de droite, ceux de gauche et ceux indiqués, je ne suis pas tout à fait sûr d’avoir répondu aux questions posées. A vous de juger. A bientôt. Vanni Gorni.

Fig 1

Fig 2

Forum/ Plus court chemin (29/11/00)

Si les points A et B sont situés à 1 cm de  la face … on a   x ³ 1. Après avoir visualisé [fig.1] les trois parcours Ac, AD et AE on voit aussi que: AB = x + 15, AH = 2x et HC = 17 cm.

AC £ AB, (AC, AB >0), AC £ AB Þ AC² £ AB²
Donc AH² + HC² £ AB²
Soit 4x² + 17²  £ (x + 15 )²
4x² + 17²  £ (x + 15 )²
3x² -30x + 64  £ 0 et x ³ 1
d’où x Î [(15 - R(33))/3; (15 + R(33))/3]  Þ x Î [3,09; 6,91]
Si on pose R(x) = Racine carrée de x.

.b) Fig. 2

• AE £ AC, (AC, AE >0), AE £ AC Þ AE² £ AC²
  AE² = (1 + 5x/2)² + (16 + x/2)² , AC² = 4x²   + 17² , soit:       5x² + 42x - 64 £ 0 et  x ³ 1.
  d’où x Î [1; (-21 + R(761))/5]  Þ x Î [1; 1,32]

• AD £ AC, (AC, AD >0), AD £ AC Þ AD² £ AC² , AD² = (-1 + 3x/2)² + (16 + x/2)² , AC² = 4x²   + 17² , soit: 3x² - 26x - 64 ³ 0 et  x ³ 1.
  d’où x Î [1; +¥[  . Donc, si x Î [1; (-21 + R(761))/5]  Ç   [1; +¥[  Þ x Î [1; (-21 + R(761))/5] Þ x Î [1; 1,32], on a AE £ AC et AD £ AC.

• De plus, si x Î [1; (-21 + R(761))/5],
  AE = R(257 + 21x +13x²/2) et AD = R(257 + 13x +5x²/2) sont des fonctions strictement croissantes; par conséquent on a les plus courts parcours AE et AD si x=1 cm.

• Vanni Gorni.