 Solution proposée par J-P
Houbard :
soit " R " le
rayon du pré. Soit " r " la longueur de la corde. Soit " 2 a "
l’angle max que peut parcourir la corde lorsque la chèvre se déplace.
Soit " 2 g " l’angle max vu du centre du
pré en regardant la chèvre qui se déplace.
La surface que peut atteindre la
chèvre est égale à la somme de 2 segments circulaires de surface respective S1 et
S2.
S1= R². g - (R²/2).sin(2 g)
S2= r². a - (r²/2).sin(2 a) avec par
hypothèse S1+S2 = p * R²/2-> r². a - (r²/2).sin(2 a) + R².
g - (R²/2).sin(2 g) = p * R²/2
En représentant graphiquement
l’énoncé, il apparaît un triangle isocèle combinant R, r, g et a. Comme
la somme des angles d’un triangle = p, on en déduit que 2 a + g = p et
aussi r/2 = R sin(g/2);
il vient donc : r² [ p - g - sin(p - g)]/2 = R² [(p /2) - g -(sin(2
g))/2]
(r/R)² = 2 [(p/2) - g -(sin(2
g))/2] / [p - g - sin(p - g)]
De ce qui précède, on a le
système d’équations :
(r/R)² = 2 [(p /2) - g -(sin(2
g))/2] / [ p- g - sin(p - g)]
r/R = 2 sin(g/2) soit 2
équations à 2 inconnues (r/R et g)
La résolution de ce système
donne : g = 1.235897 Rd
r/R = 1.158728. Donc la longueur de
la corde sera 1.15728 fois le rayon du pré.
J-P Houbard
Solution proposée par Vanni
Gorni :
Fig. 1 :
Soient, Fig.1, (C) un cercle de centre O et rayon
R, A un point appartenant à (C), CDB un arc du cercle de centre A et rayon r avec C,B Î (C), et soit l’angle CAB
= x. L’angle AOC = p – x, car le triangle AOC est isocèle; on en déduit que [AC] = r = 2Rcos(x/2)
d’où r2 = 2R2(1+cosx). Par hypothèse la somme des
aires du secteur circulaire ACDB et des deux segments circulaires ACM et ABN est la
moitié de l’aire du disque de centre O et rayon R c’est-à-dire
S(ACDB)+S(ACM)+S(ABN) = S(ACDB)+ 2S(ACM)= p R2/2. Par conséquent xr2/2 + 2[ p – x – sin(p – x)]R2/2 = p R2/2, donc x(1 + cosx)R2
+ ( p – x
– sinx)R2 = p R2/2, d’où découle l’équation suivante: xcosx
– sinx + p /2 = 0.
Fig. 2 :
On voit aisément de la Fig.2 que R £ r £ R21/2 c’est-à-dire p /2 £ x £ p 2/3; à l’aide de cette
inégalité, après avoir choisi une méthode de calcul (méthode des cordes, méthode des
essais, …), on peut trouver une racine approchée x’ de l’équation donnée
ci-dessous: x’ » 1,91 radians et, par conséquent, r » 1,16R.
A bientôt. Cordialement, Vanni Gorni.
Solution proposée par Jean Jacquelin :
Soient (R) : rayon de la surface circulaire et (r) : longueur de la
corde.
L'aire du secteur correspondant à l'angle a et au rayon R
vaut :
L'aire du secteur correspondant à l'angle j et au rayon r vaut
:
Le système d'équations à résoudre est le suivant :
(1)
donc :
(2)
(3)
Le report de (1) et (2) dans (3) donne:
Après simplification :
Cette équation a pour solution a @ 1,236 @
70,8° ; le report dans (2) donne:
r/R = 2 sin(a/2) @ 1,159
Résultat: La longueur de la corde est 1,159 fois le rayon du cercle.
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La chèvre 
