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Question d'Alain Larroche du 05/05/01 à 18h 55 :

Pourriez-vous résoudre ce problème:
Etant donnés la courbe elliptique E définie par : y² = x³ +Ax +B,
où A et B sont des entiers, et le twist E_D de E défini par :
Dy² = x³ +Ax+B, montrer que le rang de E sur Q(D^1/2) est la somme des rangs de E et de E_D sur Q, D étant un entier sans facteurs carrés.

Réponse d'Alain Larroche du 18/05/01 à 8h 30 :

J'ai une idée, mais je ne suis pas sûr : E et E_D sont isomorphes par l'isomorphisme f de E_D dans E qui à (x;y) associe (x; y.D^1/2).
Dans ces conditions si je pose a = rang de E sur Q(D^1/2) ,
b = rang de E_D sur Q(D^1/2) , c = rang de E sur Q et d = rang de E_D sur Q, j'obtiens:

a = b = a/2 + b/2 = c + d puisque a/2 = c et b/2 = d,

qu'en pensez-vous?

Alain Larroche.

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