Voilà un petit problème qui parait d'une simplicité élémentaire.. en apparence..

"Trouvez le milieu de 2 points en n'utilisant QUE le compas" ... pour les motivés seulement. On peut ensuite étendre le problème, en demandant de démontrer la validité de la construction, ce qui est autrement plus ardu.

a+

Soient A et B les points dont on cherche le milieu.

On construit le symétrique S de A par rapport à B. (voir plus loin).

On trace le cercle de centre S et de rayon |SA|.

On trace le cercle de centre A et de rayon |AB|.

Ces 2 cercles se coupent en C et D.

Le cercle de centre C et de rayon |CA| et le cercle de centre D et de rayon |DA| se coupent au point O, milieu de [AB].

Remarque pour construire le symétrique de A par rapport à B, il suffit de tracer le cercle de centre B et de rayon |AB|, à partir de A, on reporte au compas des arcs correspondants à des cordes de longueur |AB|, le 3^ème report est le point S symétrique de A par rapport à B.

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Démonstration analytique de l’exactitude de cette construction.

Choix des axes : Origine au point milieu de |AB|, axe des x sur AB.

Choix de l’unité de mesure : |AB| = 2.

On a donc O(0 ; 0) , A(-1 ; 0), B(1 ; 0), S(3 ; 0) ->

|SA| = 4.

Equation du cercle de centre S et de rayon |SA| :

(x – 3)² + y² = 16. (1).

Equation du cercle de centre A et de rayon |AB| :

(x + 1)² + y² = 4. (2).

En résolvant le système (1) et (2), on trouve les coordonnées de C et D.

On trouve : C(-1/2 ; (15^(1/2))/2) et D(-1/2 ; -(15^(1/2))/2)

On a |CA| = |AD| = (1/4 + 15/4)^(1/2) = 2

On a alors l’équation du cercle de centre C et de rayon |CA| :

(x + ½)² + (y – (15^(1/2))/2)² = 4 (3)

et l’équation du cercle de centre D et de rayon |DA| :

(x + ½)² + (y + (15^(1/2))/2)² = 4 (4)

On voit que les coordonnées de O(0 ; 0) satisfont au système (3) et (4), ce qui implique que ces 2 cercles se coupent en O(0, 0) qui est le milieu du segment |AB|.

CQFD.

Réponse de Vanni Gorni du 08/02/02 à 23h 44 :

Soient A et B deux points. Cherchons d'abord le point C symétrique du point A par rapport au point B. Après avoir tracé le cercle G de centre B et rayon AB (fig.1) traçons: le cercle de centre A et rayon BA qui coupe G en P₁, le cercle de centre P₁ et rayon P₁B qui coupe G en P₂ et le cercle de centre P₂ et rayon P₂B qui coupe G en C. Par construction les trois triangles BP₁A, BP₂P₁ et BC P₂ sont équilatéraux et l’angle ABC = ABP₁ + P₁BP₂ + P₂BC = p, par conséquent les points A, B, C sont alignés et AB = BC.

Fig.1

Cela posé, traçons (fig.2) le cercle de centre A et rayon AB et le cercle de centre C et rayon CA qui se coupent en Q et R. Enfin traçons le cercle de centre Q et rayon QA et le cercle de centre R et rayon RA; ces deux cercles se coupent en A et M.

Fig.2

Puisque les deux triangles isocèles ACQ et AQM sont semblables on a  AM / AQ = AQ / AC, mais AQ = AB et AC = 2AQ donc AM = AB/2.

A bientôt, cordialement, Vanni Gorni.

Réponse d'Alain Larroche

On place un point M à l'extérieur de (AB) puis on construit le point S, une des deux intersections des cercles C(B;MA) et C'(A;MB). Par construction, ASBM est un parallèlogramme puisque AM = BS et MB = AS.

I est alors l'intersection de (MS) et (AB). Le théorème de Mohr et Mascheroni (p 26   du livre "Leçons sur les constructions géométriques" d'Henri Lebesgue Editions Jacques Gabay) peut s'énoncer de la manière suivante : "toute construction possible avec la règle et le compas peut être effectuée à l'aide du compas seul". Page 27 du même livre suit la démonstration de ce théorème et en particulier le procédé de construction de l'intersection de deux droites au compas seul.

Jean-Luc Juveneton vous propose de nombreuses constructions au compas seul, vous pouvez également trouver la solution au problème posé dans le compas dans l'oeil.

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