Antoine.

On suppose que l'on cherche une construction à la règle et au compas qui donne la solution du problème (une réponse par calcul analytique serait facile, mais aurait peu d'intérêt).

Les données du problème sont : les droites AD, AE , le point K et la longueur (k).

On désigne par (a) l'angle EAD.

Bien évidemment, sur la figure donnée, les points A et B n'existent pas. Il s'agit de les construire.

Voici une méthode:

- Abaisser à partir de K la perpendiculaire en I sur AE.

- Abaisser à partir de K la perpendiculaire en J sur AD.

ceci donne des segments AI, AJ, KI, KJ qui vont servir par la suite.

Puis on construit la figure annexe suivante :

- Sur un segment A'A", de longueur (k), porter les points I' et J' tels que A'I'=AI et A"J'=AJ, de telle sorte que le segment I'J' obtenu soit de longueur (k-AI-AJ).

- En I', élever une perpendiculaire à A'A" et on porte le point K' tel que I'K'=IK.

- En J', élever une perpendiculaire à A'A" et on porte le point K" tel que J'K"=JK.

- Tracer K'K" et la médiatrice de K'K".

- Sur cette médiatrice, construire le point O tel que les angles K'OM et K"OM soient tous deux égaux à l'angle (a) donné. Pour cela, on peut construire sur la figure donnée le complément de (a) à Pi/2 et le reporter en K' à partir de K'M. La droite obtenue coupe la médiatrice en O.

- Tracer le cercle de centre O et de rayon OK'=OK". Suivant le cas, ce cercle coupe la droite A'A" en zéro, un ou deux points. Ce sera autant de solutions distinctes.

- Considérons l'un des points d'intersection s'il existe. Nous désignons ce point par B' et par C' . Cela peut surprendre de donner deux désignations différentes à un même point. On verra plus loin que cela permet de mieux comprendre la relation entre la figure donnée et la figure annexe.

- Porter sur la figure donnée le point B tel que IB=I'B'. On obtient ainsi le triangle KIB égal au triangle K'I'B'.

- Porter sur la figure donnée le point C tel que JC=J'C'. On obtient ainsi le triangle KJC égal au triangle K"J'C'.

L'ambiguïté qui pourrait se présenter sur les positions symétriques de B par rapport à I et de C par rapport à J est bien évidemment levée par la condition BK et KC colinéaires.

Cette construction, entièrement réalisable à la règle et au compas, donne les points B et C recherchés.

On a vu qu'il peut y avoir zéro, une ou deux solutions, selon la valeur de (k) par rapport à (AI+AJ) et selon la position du cercle par rapport à la droite A'A".

La démonstration associée à cette construction est assez évidente en utilisant les expressions suivantes que l'on établi aisément (notations sur les figures) :

IB=KI.tg(alpha)=I'B'

JC=KJ.tg(beta)=J'C'

alpha+beta=(a)

IB+CJ=(k-AI-AJ)=I'B'+C'J'=I'J'.

 
Réponse de J-P Houbard du 15/05/01 à 12h 44 :
Comme l'a dit Mr Jacquelin dans sa réponse, une solution analytique est peu
intéressante, elle m'a cependant permis de montrer que le nombre de
solutions pouvait être supérieur à 2. C'est pourquoi je vous la soumets.
Solution analytique.
Choix des axes : Origine au point A->A[0,0].
Axe des y confondu avec la droite AE -> Equation de AE donnée par x = 0.
Axe des x perpendiculaire à y en A pour axes orthonormés.
La droite AD a pour équation y = A.x  (Equation 1). (A étant la pente , à ne
pas confondre avec le point A).
Le point « K » a pour coordonnées : K[X, Y].
Les grandeurs X, Y, A sont des données du problème et donc connues.
La somme  |AB| + |AC| = k avec k également connu.

Equation générale des droites passant par K[X, Y] :
y = ax + b.
Y = aX + b -> b = Y - aX.
-> y = ax + Y - aX.  (Equation 2).

Ces droites coupent AE en B[0, Y-aX].
Ces droites coupent AD en C[(Y-aX)/(A-a) , A. (Y-aX)/(A-a)], ceci est trouvé
en résolvant le système donné par les équations 1 et 2.

On a donc |AB| = |Y - aX|.
et |AC| = |(Y - aX)/(A-a)| . (1 + A²)^(1/2).
Or |AB| + |AC| = k ->

|Y - aX|.( 1 + (((1 + A²)^(1/2))/(|A - a|))) = k. (équation 3).
Dont la seule inconnue est « a ».
La difficulté suivante vient du fait que Y - aX et A - a sont pris en
valeurs absolues et que a est inconnu pour l'instant.

Il faut considérer 4 cas en fonction des signes de Y - aX et A - a, on en
déduit des équations du second degré en « a ». il faut ensuite vérifier que
les valeurs de « a » obtenues sont réelles et satisfont aux conditions du
cas considéré.
a) Si Y - aX > 0 et A - a > 0.
L'équation 3 donne :
a²X - a(AX + X.(1+A²)^(1/2) - k +Y) + Y(A + (1+A²)^(1/2)) - kA = 0. (éq 4).
b) Si Y - aX < 0 et A - a < 0.
L'équation 3 donne :
a²X - a(AX - X.(1+A²)^(1/2) + k +Y) + Y(A - (1+A²)^(1/2)) + kA = 0. (éq 5).
c) Si Y - aX > 0 et A - a < 0.
L'équation 3 donne :
a²X - a(AX - X.(1+A²)^(1/2) - k +Y) + Y(A - (1+A²)^(1/2)) - kA = 0. (éq 6).
d) Si Y - aX < 0 et A - a > 0.
L'équation 3 donne :
a²X - a(AX + X.(1+A²)^(1/2) + k +Y) + Y(A + (1+A²)^(1/2)) + kA = 0. (éq 7).

Il faut donc calculer les valeurs de « a » données par l'éq4 et garder les
valeurs de « a » si elles satisfont Y - aX > 0 et A - a > 0. Recommencer
avec l'éq 5 .ensuite éq 6 et enfin éq 7 avec leurs conditions respectives.

Les valeurs de « a » ainsi conservées donneront chacune une solution pour la
droite BKC à tracer.
Il suffit pour trouver ces droites d'introduire les valeurs de « a »
conservées dans l'équation 2.

Un exemple numérique pour montrer que le nombre de solutions peut être
supérieur à deux :

On prend X=-2, Y=-2, k = 7, la droite AE donnée par x = 0, la droite AD a
pour équation y = 0,5.x  (Donc A = 0,5).
Dans ce cas, il y a  4 solutions, les droites BC qui satisfont aux critères
sont trouvées par la méthode décrite ci-dessus et sont :

y = 0,6315464x - 0,7369072.
y = 3,56438961x + 5,12877923.
y = -1,0123253x - 4,02465061.
y = 0,13035929x - 1,73928141.

Je pense que ces solutions peuvent également être trouvées par la solution
proposée par Mr Jacquelin (qui reste celle que je préfère) car dans sa
méthode, il existe 2 points « O » et pas un seul et de là .

J-P Houbard.
Réponse de Jean Jacquelin du 16/05/01 à 9h 09 :

L'approche analytique convient mieux, en effet, à l'analyse systématique des cas possibles. En voici une variante qui a l'avantage de la simplicité. Avec les notations de la figure déjà publiée, on a:

IB=IK.tg(a)

JC=JK.tg(b)

a+b=a

AB+AC=k

Donc 4 équations pour 4 inconnues (a, b, IB, JC), puisque (a, k, IK, JK) sont donnés.

Remarquons que les équations sont compatibles avec a négatif, au quel cas IB serait négatif, c'est-à-dire B serait entre I et A. De même, dans le cas b négatif, C serait entre J et A.

Comme tg(b)=tg(a-a)=(tg(a)-tg(a))/(1-tg(a).tg(a)), on réduit le système à une seule équation ayant pour inconnue tg(a) :

k-IA-JA=IK.tg(a)+JK.(tg(a)-tg(a))/(1-tg(a).tg(a))

C'est une équation du second degré : A.tg(a)^2+B.tg(a)+C=0, avec :

A=IK.tg(a)

B=JK-IK-(k-IA-JA).tg(a)

C=k-IA-JA-JK.tg(a)

Il peut y avoir deux (et seulement deux) solutions pour tg(a).

Pour chacune de ces solutions, quand elles sont réelles, on obtient deux angles : a et (p-a). Effectivement, on trouverait bien, au total, 4 angles a, donc la possibilité de 4 solutions. Mais encore faut-il vérifier que ces solutions restent compatibles avec la figure imposée par l'énoncé du problème. Par exemple, pour une solution telle que B est entre I et A, alors C n'est pas sur la demi-droite AD, mais se trouve de l'autre coté par rapport à A. Donc K n'est pas entre B et C ce qui n'est pas conforme à la figure de l'énoncé du problème.

Il semble que 2 soit le nombre maximum de solutions réelles, compte tenu des restrictions propres à la géométrie. Mais pour en être certain, il faudrait analyser tous les cas possibles, travail qui ne me tente pas. Quelqu'un trouvera-t-il un contre-exemple présentant 4 solutions ?

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