Si P peut se factoriser par un polynôme du premier degré cela reviendrait à dire qu'il existerait un élément x de K tel que P(x) = 0 ce qui est impossible (puisque P(x) = 1 pour tout élément x de K).
Il s'agit ici de la démonstration classique qu'aucun corps fini n'est algébriquement clos.
Par contre P pourrait se factoriser en un produit de 2 polynômes de degrés >1.
Je ne vois pas comment prouver le contraire.

Réponse de Guy Philippe du 18/06/01 à 17h 51 :

Pour répondre à Alain Larroche je dois dire qu'il a tout à fait raison et qu'une lecture trop rapide de JM.Arnaudiès m'a fait croire à la propriété demandée en fait j'aurais du demander  P est-il premier ou pas?

Réponse de Mathieu Linet du 19/06/01 à 15h 10 :

P(X) = 1 + X(X-1)...(X-(p-1))
= X^p - X + 1 ( les deux polynômes coïncident sur K d'après Fermat et sont de même degré unitaires )

Soit a une racine de P dans un corps de décomposition de P
quel que soit i dans K, P(a+i) = (a+i)^p - (a+i) + 1 = a^p + i - a - i + 1 = 0
Donc P(X) = (X-a)(X-a-1)...(X-a-p+1)
Supposons que P soit non premier sur K: il existe Q de degré d compris entre 1 et p-1 tel que Q divise P
On a alors Q(X) = (X-a-i1)...(X-a-id) où i1, ..., id sont tous distincts.
Q(X) = X^d - X^(d-1) * [ da + i1 + ... + id ] +...
donc da + i1 + ... + id app à K c'est à dire da app à K
or d compris entre 1 et p-1 donc a app à K absurde.
Donc P est premier sur K

Le résultat n'est pas vrai "tout le temps" puisque le polynôome X^4 - X + 1 est réductible sur K = Z/4Z[a] avec a²=a+1 :
X^4 - X + 1 = ( X² + X + a ) ( X² + X + a + 1 )

Réponse de Pierre Renfer du 19/06/01 à 17h 16 :

Bravo, la réponse est tombée, avant que je n'eusses le temps de chercher.
Pour le corps à 4 éléments, une faute de frappe s'est glissée : Il faut lire Z/2Z(a) au lieu de Z/4Z(a).

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