Bonjour amis du forum, énoncé : soit A³ = n.a³ (n appartenant à l'ensemble des entiers naturels N*) d'où on déduit :  A = a.(n)^1/3. Connaissant la longueur a du premier cube.
- Tracer la longueur A du second cube à la règle et au compas (non graduée).
  1) Lorsque n = 3
  2) Lorsque n = 4
  3) Lorsque n = 5
  4) Lorsque n = 6
Merci. Djelloul Sebaa.
Question N°2 de Djelloul Sebaa du 23/09/01 à 21h 55 :

Bonjour Mr Alain Larroche, concernant le sujet "Cube et Multiples" posé au forum de Espace Math, j'ai proposé une reponse le 19/09/01 toutefois je n'ai reçu aucun commentaire sur la fiabilité de la méthode ou l'exactitude du resultat.
En conséquence, je voudrai bien savoir : - Si ce résulat est juste? - Si oui, pourrait-il être considéré comme un travail de recherche, par conséquent est ce qu'il pourrait être entrepris comme un sujet de thèse?.

                     

Solution Genérale  
Par hypothèse on a : V= n.v ; c'est à dire : A³  = n.a³ ,     (k = n) d'où :
A = a.(n)^1/3 autrement dit : A³ = n.a³ = a .a.( n.a) .
Soit un parallelipipède composé de :
- 4 façades rectangulaires égales entre elles et de dimension : a .( n.a)
- 2 façades carrées égales entre elles de dimension : a . a

1-1) Transformation (T₁) : transformons la façade rectangulaire de dimension : a.( n.a) en une façade carrée de dimension : Y₁ x Y₁

1-2) Calcul de Y₁ ( géométriquement) :
soit un demi cercle de centre O et de diamètre D = a +( n.a) = (n+1).a
soit un triangle ABC inscrit dans le demi cercle tel que BC= D = (n+1).a
donc ce triangle est rectangle en A soit un point F appartenant à BC (diamètre),
tel que :  FB/FC= a/n.a = 1/n .
Traçons la hauteur AF du triangle ABC et posons AF = Y₁
on aura : (AF)^2= FB x FC ; (Y₁)^2= a x (n.a) , d'où on déduit: Y₁= a (n)^1/2
Y₁ est ainsi déterminé géometriquement.

1-3) Résultat (R₁) : on a obtenu un nouveau parallelipipède de nouvelle
dimension, composé :
- de 2 façades carrées ( nouvelles) égales entre elles de dimension : Y₁ x Y₁ 
 tel que:    Y₁= a (n)^1/2
1-4) Tracé du nouveau parallelipipède de dimension : Y₀ x Y₁ x Y₁ ,
tel que : Y₀ = a   et  Y₁ = a (n)^1/2

2-1) Transformation (T₂) :
Transformons la façade rectangulaire de dimension:
Y₀ x Y₁, tel que : Y₀ = a et Y₁ = a (n)^1/2

2-2) Calcul de Y₂ (géometriquement) :
soit un demi cercle de centre O et de diamètre D = a +
a (n)^1/2 soit un triangle ABC inscrit dans ce demi cercle tel
que BC = D = a + a (n)^1/2 donc ce triangle est rectangle en A .
Soit le point F appartenant à BC (diamètre) tel que : FB/FC= a/a(n)^1/2 = 1/(n)^1/2 = (n)^1/2 / n
Traçons la hauteur AF du triangle ABC, de diamètre :
D= a ( 1+ n^1/2) tel que : AF = Y2 , on aura : (AF)^2 = FB x FC
(relation metrique)
(Y₂)^2 = a x (a . n^1/2)
D'où on déduit: Y₂ = a x n^1/4

2-3) Resultat (R₂) :
On a obtenu un deuxième nouveau parallelipipède de
dimension (nouvelle) composé de :
- 2 façades carrées (nouvelles) égales entre elles de
dimension nouvelle: Y₂ x Y₂
tel que : Y₂ = a.n^1/4
- 4 façades rectangulaires nouvelles égales entre elles de dimension nouvelle :
Y₁xY₂ , tel que Y₁ = a (n^1/2) et Y₂ = a x n^1/4

2-4) Tracé du nouveau parallelipipède de dimension : Y1 x Y2 x Y2 ,  tel que : Y₁ = a .(n^1/2) et Y₂ = a .n^1/4

Les étapes suivantes sont déterminées succéssivement
de la même manière.

Recapitulons :
1) Le premier parallelipipède transformé a pour
dimension: Y₀xY₁xY₁
2) Le deuxième parallelipipède transformé a pour
dimension: Y₁xY₂xY₂
3) Le troisième parallelipipède transformé a pour
dimension: Y₂xY₃xY₃
4) Le quatrième parallelipipède transformé a pour
dimension: Y₃xY₄xY₄
.........................................................................................
n+1) Le(n+1)ème parallelipipède transformé a pour
dimension: Yn xYn+1xYn+1

CONCLUSION :

A^3 = (Yn+1)^3 ~ Yn xYn+1xYn+1 = n (Y0)^3 = n (a)^3

Plus le nombre de transformation du parallelipipède
augmente,plus la forme du parallelipipède s'approche
du cube de volume V=  n.a^3

 Application Numérique:
1) Lorsque n = 3
2) Lorsque n = 4
3) Lorsque n = 5
4) Lorsque n = 6
Merci. Djelloul Sebaa.
Réponse de Fabrice Guerimand du 26/09/01 à 15h 42 :
bonjour, le probleme "cubes et multiples" est connu sous le nom "impossibilite de la duplication du cube". Cela revient en fait a construire a la regle et au compas la racine cubique de n. Ce qui est possible si et seulement si n est un cube.
la preuve est faite p68-69 dans le livre suivant : maths agreg, Cours d'algèbre
Daniel perrin. Collection ellipses.
a+
Réponse de Djelloul Sebaa du 28/09/01 à 01h 19 :
Bonjour Fabrice Guerimand, premièrement je vous remercie pour votre reponse,ainsi pour l'interet que vous portez à ce sujet, en consequence j'ai quelques éclaircissements à vous fournir concernant ce sujet. Prenons comme exemple la duplication d'un cube quelconque à la regle et au compas dont la
demonstration à la precision est impossible, toutefois une demonstration approximative est toujours possible, par analogie,la démonstration à la precision pour les multiples d'un cube quelconque à la regle et au compas est  aussi impossible,mais possède une solution approximative, en effet c'est cette dernière qui m'interesse. Merci. Djelloul Sebaa.   
 

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