Voici mon problème : existe-t-il  un solide ayant la forme d'un cube surmonté d'une pyramide régulière dont la hauteur totale est de 40 cm et le volume 2 litres ? Thomas Azzola.

• Soit V₁ le volume du cube: V₁ = x³

  Soit V₂ le volume de la pyramide: V₂ = 1/3x²(40-x)

  Soit V_tot le volume total: V_tot = V₁ + V₂ = x³+1/3x²(40-x)

  Or le volume total doit être de 2 litres soit 2dm³ ou 2000 cm³

  Donc x³ + 1/3x²(40-x) = 2000

  x³ + 40/3x² - 1/3x³ = 2000

  (2x³ + 40x² -6 000)/3 = 0

  Or N(x)/D(x) <=> N(x)=0 et D(x)<>0

  Donc 2x³ + 40x² - 6000 = 0   [P]

  Une racine évidentde du polynôme P est x=10

  donc P est factorisable par x-a avec a=10

  Par la methode des coefficients indeterminés

  Soit P' le polynôme tel que (x-a)(P'(x)) = P(x)

  On a donc
  2x³ + 40x² - 6000 = (x - 10)(ax² + bx + c)                            

  a;b;c coefficients de P'

  Par la méthode des coefficients indeterminés,

  (x-10)(ax²+bx+c) <=> ax³+bx²+cx-10ax²-10bx-10c

  <=> x³(a)+x²(b-10a)+x(-10bx+cx)-9c

  Puis

  a=2, b-10a=40, -10b+c=0, -10c=-6000
  Donc a=2, b=60, c=600. Donc P'(x)=2x² + 40x - 6000, donc P(x) peut également s'écrire également (x-10)(2x²+40x-6000). Prouvons que P'(x)=2x² + 60x + 600 n'a aucune solution:
  Delta = b²-4ac = 3600-4800 < 0

  Donc P'(x) n'a pas de racine et alors
  P(x) = (x - 10)(2x² + 60x + 600) n'a qu'une seule solution: x = 10

  Par conséquent un tel solide n'existe que pour x = 10 cm

  Thomas Azzola.