Qu'elle est la longueur d'une arche de cycloïde?
Merci d'avance.

Je suppose que vous avez les coordonnées paramétriques x(t) et y(t)  de la cycloïde. Sinon je vous donne les URL de quelques sites qui les donnent :

Chronomath, Université du Mans, sciences-en-ligne

Ceci fait, la longueur de l'arche est égale à :
l'intégrale de a à b de (x'²(t) + y'(t)²)^1/2 , a correspondant au paramètre du point de départ et b à celui du point d'arrivée.

Réponse de Jean Jacquelin du  16/11/01 à 10h 08 :

Une cycloïde commune est engendrée par un point périphérique P d'un cercle de rayon R roulant sur une droite (a = angle de rotation). Les coordonnées de P dans le repère fixe sont :

x=R(a-sin(a)) et y=R(1-cos(a)).

Ne pas confondre les coordonnées polaires (R,a) dans le repère mobile avec les coordonnées polaires (r,t) dans le repère fixe, telles que x=r.cos(t) et y=r.sin(t).

Pour une variation (da) du paramètre (a), on a : dx=R(1-cos(a))da et dy=R.sin(a)da.

Soit dL la distance correspondante parcourue dans le repère fixe.

dL²=dx²+dy²=R²(1-cos(a))²+R²sin²(a)

dL²=R²(2-2cos(a))=4R²cos²(a/2)

dL=2R.sin(a/2). La primitive correspondante est -4R.cos(a/2).

La longueur L de l'arc parcouru pour la rotation de a=a₁ à a=a₂ est la somme de dL, donc L=-4R(cos(a₂/2)-cos(a₁/2)). Pour l'arche complète, a₁=0 et a₂=2p , donc :

L=-4R(cos(p)-cos(0))=8R.

La longueur de l'arche de cycloïde commune est égale à 8 fois le rayon du cercle générateur.

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