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 Question de Jardel du
08/05/01 à 18h 59 :
Il faut montrer que le volume
d'un secteur sphérique est égale aux 2/3 du volume d'un cylindre dont le rayon est
celui du secteur générateur et dont la hauteur est la projection sur l'axe de
révolution de la corde correspondante.
J'aimerai bien avoir une réponse pour jeudi matin si c'est possible merci d'avance et
bonne chance . |
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Réponse de Jean-Pol houbard
du 09/05/01 à 20h 39 :
- Avec R = rayon de la sphère d'où le secteur sphérique est issu.
Avec h = la hauteur de la calotte sphérique du secteur sphérique.
Avec d = le diamètre de la calotte sphérique du secteur sphérique.
Calcul du volume considéré comme volume de révolution :
a) calcul du volume de la calotte sphérique :
généré par la rotation d'un arc de cercle d'équation x² + y² = R² pour R-h <
y < R.
V1= Pi. Intégrale(y=R-h -> R) de (x² . dy)
avec x² = R² - y².
On a immédiatement V1= Pi .[R².y - y³/3] pour (y=R-h -> R)
Après développement et simplification, on a
V1 = Pi.[h².R - (h³/3)].
b) calcul du volume de la partie conique du segment sphérique.
On peut le considérer engendre par la rotation d'une droite et calculer de
manière analogue au point a. Cependant, le volume d'un cône vaut
1/3.Pi.(rayon²).hauteur.
On a rayon de la base du cône = d/2 et sa hauteur = (R - h).
et avec (d/2)² = R² - (R-h)² (faire le dessin et c'est évident).
(d/2)² = 2Rh - h².
On a V2 = (1/3).Pi . (2Rh - h²). (R-h).
V2 = (1/3).Pi.(2R²h - 3Rh² + h³).
Le volume cherché V vaut V1+V2.
V = Pi.[(h³/3) + h².R].+ (1/3).Pi.(2R²h - 3Rh² + h³).
V = (1/3).Pi.(3h².R - h³ + 2R²h - 3Rh² + h³).
V = (2/3).Pi.R².h
Qui vaut 2/3 du volume d'un cylindre de rayon R et de hauteur h dont les
définitions sont données au début.
Je ne suis pas sûr que c'est bien le cylindre mentionné dans la question qui
utilise un jargon qui me dépasse, quoi qu'il en soit, le volume calculé est
correct.
Jean-Pol Houbard.
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Cylindre et sphère
