 Réponse de Vanni Gorni du
14/09/01 à 22h 03 :Bonjour, je vous envoie (fichiers ci-joints)
ma proposition de réponse (partielle) à la question - Défis - Forum Géo du 09/09/01.
A bientôt. Cordialement, Vanni
Gorni.
x = (ab)1/2 ; a = 1, b
= 2 Þ x = 2 1/2 .
A bientôt. Cordialement, Vanni Gorni.
Réponse de Jean Jacquelin
du 20/09/01 à 15h 55 :
On suppose qu'il s'agit de trouver des constructions
"à la règle et au compas".
Voici une réponse amusante à la question n°3 :
- On peut construire le cercle à condition que son
centre soit à l'intérieur du rectangle donné (la construction est évidente).
- Mais comment faire si le centre tombe à l'extérieur
du rectangle ?
Soit un point O quelconque intérieur au triangle formé
par les trois points A, B, C donnés.
Soit k un nombre entier aussi grand que l'on veut. On
sait tracer à la règle et au compas le point (a) homothétique de (A) par rapport au
centre d'homothétie (O) dans le rapport 1/2^k. (On construit A1 le milieu de OA, puis A2
le milieu de OA1, etc., k fois de suite). On fait de même pour (b) et (c) homothétiques
de (B) et (C) respectivement. Le triangle (abc) obtenu est aussi petit que l'on veut, de
telle sorte que le centre de son cercle circonscrit soit à l'intérieur du rectangle
donné. On sait construire ce petit cercle à la règle et au compas.
On sait tracer le point homothétique - centre O et rapport 2^k - d'un
point quelconque (en doublant k fois de suite la distance à partir de O). Donc,
théoriquement, on peut construire point par point l'homothétique du petit cercle
passant par a, b,c, ce qui donne le grand cercle passant par A, B, C, du moins en ne
conservant que les arcs tombant à l'intérieur du rectangle donné.
Un peu "tiré par les cheveux" me direz-vous ?
Reprise de Jean Claude
Lelong Bonnaric du 22/09/01 à 21h 53 :
Pour le defi 1 les réponses sont bonnes, mais je voulais engager vers une direction qui
ne se retrouve pas.
Pour le defi 2 j'aurais du préciser segment et non surface.
Pour le défi 3 je voudrais rectifier et dire dans un premier temps, ne prendre comme
condition du défi :
- ne jamais utiliser le point de centre facilement décelable.
Dans tous les défis, l'art de la géométrie est précisement un tracé géomètre
alors de grâce mes amis un bon dessin vaut mieux qu'un long discours.
Cordialement vôtre.
Réponse de Vanni Gorni du
25/09/01 à 21h 45 :
Soient AB
= 1 et AC = 2. Traçons la médiatrice du segment AB et le cercle de centre C
et rayon AC, ce cercle coupe la médiatrice du segment AB en D. Comme
AM = MB = 1/2 et AC = DC = 2 on a: MC = 3/2, DM
= 71/2/2 et AD = 21/2. A bientôt. Cordialement, Vanni Gorni.
Réponse de Jean-Claude
Lelong Bonnaric du 27/09/01 à 19h 06 :
a) Désolé de vous contredire mais élever ou extraire la racine nième d'un d'un
segment de valeur (x) si le segment unité est connu, est chose faisable. Je
m'essayai à amener les participants au forum à en faire la découverte
par le jeu de questions et défi et cela dans un double but. Le premier n'étant pas du
milieu mathématique mes démonstrations ne peuvent avoir les mots et le caractère
précis d'une publication, le second, de par la fréquentation du Forum par un très
grands nombres de personnes, cela devrait constituer une antériorité.
Enfin par le jeu de questions et défis résolus, un certain nombre d'entre
vous trouverons le cheminement d'une pensée.
b) Pour faciliter la recherche du troisième défi, dans un premier temps les
trois points formeront un triangle isoclèle; par la suite vous verrez cela n'est
pas une condition nécéssaire. Le cercle sera constitué par un polygone au nombre de
cotés infini. c'est une figure initiatrice, est un algorithme de construction
géométrique qu'il faut trouver. En toute cordialités. A tous ceux qui ont recherchez
l'apparence de la quadrature du cercle à vos pensées, à ceux tous ceux qui
dénie, au plaisir de vous contredire.
Réponse de Jean-Claude
Lelong Bonnaric du 10/10/01 à 21h 25 :
réponse à Fabrice Guérimand et ses amis.(cubes et multiples)
Chers amis, si n est un entier et que l'on a connaissance du segment unité alors la
puissance 3ièmme de n est géometriquement faisable. Si vous cherchez avant, cela vous
sera plus profitable que si je vous donne la réponse à présent, à coup sûr, elle
interviendra avant le 20 octobre 2001. Une suggestion,( cas particilier en rapport
de THALES). De plus le processus inverse n'est faisable que si l'on connait n^(x) et
n^(x-1).
Réponse de Jean-Claude
Lelong Bonnaric du 12/10/01 à 20h 48 :
Bonjour. Veuillez touver sous format
Word 2000 le texte concernant la réponse au defi lancé. Par la suite je donnerai la
solution pour tracer la circonférence
d'un cercle à partir d'un triangle quelconque,ainsi que le moyen de
retrouver la formule d'EULER, et pourqoui pas conforter les dires de Georges
Cantor, par "évidence de constat", n'importe quel triangle améne à la
construction de PI. Je m'attend à des critiques. La seule que m'avait opposé une
éminent professeur de l'intitut mathématique ce lundi, relevait du fait que pour
tracer médiatrices et bissectrices et j'étais obligé d'utiliser un compas. Cest
pourquoi en préambule je montre que cela n'est pas une obligation.En toutes cordialités.
J.C LELONG BONNARIC
Comment
construire un cercle
(sans utilisation du
compas)
Définition du cercle
Le Mot cercle
dérive du latin (circus). C’est une surface plane limité par une courbe dont tous
les points sont à égale distance d’un point appelé centre.
Notes :
nous devrions ajouter : les dits points sur cette courbe, positionnés au hasard ou
cotes à cotes. Ceci afin de pouvoir montrer que : de trois points cotes à cotes est
issus un triangle isocèle. Or si l’angle de base devient nul, le triangle disparaît
au profit de la superposition de deux points contiguë
Définition de
l’équerre
Instrument de dessin pour tracer des
angles droits. Se traduisant en géométrie Euclidienne par l’intersection de deux
droites suivant un angle de 90°.
En fait depuis l’Égypte
antique on sait construire autant sur le terrain que sur le plan de travail le modèle de
l’équerre suivant le triangle 3 - 4 - 5 ou tout autre triangle rectangle. Ainsi
suivant ces définitions, et seulement avec l’utilisation de l’équerre il vous
ait proposé la démonstration de la construction du cercle suivant une algorithmique dont
la finalité est conforme à la définition du cercle.
Préambule : Avant toutes choses il importe de dire que cette
démonstration ne pourrait se faire si n’avait pas été analysé dans ses moindres
détails les possibilités offertes par la géométrie Euclidienne. Ainsi un constat et sa
démonstration a fait mettre en évidence les propriétés des médiatrices aux deux
segments particuliers d’un triangle rectangle que sont l’hypoténuse, et la
bissectrice aux angles aigus.
L’hypoténuse
et la bissectrice sont issues du même point, il résulte que toute droites
qui
leur est réciproquement sécante sont concourantes. Ainsi il est un point de rencontre
qui peut prendre une particularité dés lors que l’élévation d’une
médiatrice coupe un segment en deux parties égales, et le tracé d’une bissectrice
coupe une angle en deux parties égales. Le point en question est issu de propriétés
géométriques élémentaires. Ainsi et afin de satisfaire à la condition initiale, il se
doit dans un premier temps de démontrer que
la médiatrice d’un segment est constructible avec seulement l’équerre, il doit
en être de même pour la construction d’une bissectrice.
Construction
de la médiatrice d’un segment par la seule équerre. Soit un segment L, M ;
soit un triangle 3, 4, 5, (ou tout autre triangle rectangle) a chacune de ses
extrémités, leurs plus grands cotés alignés sur le segment. Leurs plus petit cotés
seront concourants et le point de rencontre à égale distance de chacune des
extrémités. Il en serait de même pour l’alignement sous le segment.
Il résulte de cela que la jonction
des deux points élève une médiatrice au segment par le fait d’avoir construit un
parallélogramme au 4 cotés égaux, dont la propriété des ses diagonales est de se
couper à angle droit en déterminant deux segments égaux.Construction de la
bissectrice d’un angle avec la seule équerre.
Soit
un angle quelconque constitué de deux droite sécantes delta L et delta M se rencontrant
en un point O ; soit un triangle 3 4 5 aligné à partir du point O sur chacune
des droites le plus grand coté en alignement.
Dès lors , soit les petits
cotés de chacun des triangles se rencontrent, soit leurs prolongements ; quelque en soit
le cas le point de rencontre O’, se trouve sur la
bissectrice de l’angle LOM. En effet, le point de rencontre crée deux
nouveaux triangles rectangles similaires, d’ou résulte l’égalité des angles
delta L O O’ et delta M O O’. C’est ainsi que, en conclusion du préambule
la médiatrice d’un segment et la bissectrice d’un angle sont constructible avec
le seul triangle 3 4 5 ou tout autre triangle
rectangle ou une équerre.
Démonstration de la construction du
cercle avec la seule équerre.
Soit trois points déterminants un
triangle isocèle A B C ; la géométrie d’Euclide démontre que par ces trois
points ne passe qu’une seule circonférence de cercle. Soit la construction des
médiatrices de chacun des cotés (Mab et Mbc), soit
et la construction de chacune des bissectrices des angles aigus (dA et dC).
Ces dernières se rencontrent en un point (D) qui, selon les triangles semblables, se
trouve à égale distances de chaque extrémité. Soit
la construction des médiatrices à ces bissectrices (Mad et Mcd ); celles ci
réciproquement rencontrent les médiatrices élevées à chacun des cotés (Mab et Mbc) .
il est démontrable que le point de rencontre (Ea de Mad et Mab) et (Ec de Mbc et Mcd) se trouvent sur la circonférence du cercle
passant par les sommet du triangle isocèle A B C.
Ainsi trois points connus sur le
cercle sont adjoint deux autres points ; par se procédé, les points Ea et Ec deviennent sommets de nouveaux triangles
isocèles A B Ea et B C Ec auquel est appliqué l’algorithme géométrique de la
construction des bissectrices et médiatrices pour former à nouveaux de nouveaux points.
Il est aisé de constater qu’ainsi se retrouve intercalé entre chaque point de
nouveaux points. En
conséquence comme chaque intervalle ce trouve additionné d’un point au pas suivant, à l’infini,
la juxtaposition de tous les points crées, forme la courbure de la circonférence du cercle.
la démonstration
consiste à établir que l’ensemble des points 1 , 2,
3,……………, (n), sont tous cocycliques.
Nous sommes partis d’un triangle isocèle, mais la circonférence d’un cercle
peut être construit à partir d’un triangle quelconque. Conclusions, Pi est
constructible avec seulement l’équerre. C’est une question de temps, or le
temps est une dimension qu’il n’y a
pas lieu de citer autant en mathématique qu’en géométrie. Cela tendrait à vouloir
dire qu’il y a en Mathématique autant d’infini que l’infini. N’est ce
pas ce que dit Georges Canto. Copyright Lelong Bonnaric Jean Claude (France) lelong.bonnaric@free.fr
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