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Angles Fonctions dérivées

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Puce1.gif (552 octets) Question N°2 de François-Bernard Champier du 08/10/01 à 11h 18 :
Recherche des explications simples sur les fonctions derivées
Puce1.gif (552 octets) Réponse d'Alain Larroche à la question N°2 :
Voici un choix de 7 pages web vous donnant des explications sur les fonctions derivées :

Chronomath, lycée international, jpq, Webmaths, Piquard, Mauvais, cabri

Puce1.gif (552 octets) Question N°1 :

Déterminer les fonctions dérivées ainsi que le domaine de définition des fonctions suivantes :
  1. 1/(x2 - 4)1/2
  2. (x3 + 6x)2/3 
  3. x + 1/x1/2 
  4. (1 - x1/2)(1 + x1/2)
  5. [(2x - 3)2/(x - 1)3]1/3
  6. (x - 1)1/2/(2x + 4) 
  7. (5x2 + 6).(x + 1)2/3
  8. (9 - 7x2)5/4 
  9. 2.(1 - 3x2)3 
  10. 5.(4x - 1)3


merci bcq pour votre aide
Gérard

Puce1.gif (552 octets) Réponse d'Alain Larroche à la question N°1 :

1) Si f(x) = 1/(x2 - 4)1/2 = 1/u(x) avec u(x) = (x2 - 4)1/2.
Nous savons d'après le cours que la dérivée de 1/u est -u'/u2.
D'autre part la dérivée de v1/2 est v'/2v1/2 et
la dérivée de g, telle que g(x) =(x2 -4) est g' telle que g'(x) = 2x.
Par conséquent,

u'(x) = 2x/2(x2 - 4)1/2 = x/(x2 - 4)1/2 et
f '(x) = -u'(x)/u2(x) = -x/(x2 - 4)1/2(x2 - 4)2 = -x/(x2 - 4)5/2.

Le domaine de f est celui de f ' et correspond aux x tels que x2 - 4 > 0.

Donc, Df = Df ' =]- ¥;-2[ È ]2, + ¥[.

2) Nous savons que la dérivée de un est nu' un-1 avec n rationnel.
Donc la dérivée de f telle que f(x) = (x3 + 6x)2/3 est f ' telle que:
f '(x) = (2/3)(3x2 + 6)(x3 + 6x)-1/3.
Ici,  Df = R puisque la racine cubique ainsi que la fonction polynôme
sont définies sur R.
Mais la présence de l'exposant négatif dans l'expression de f ' nous oblige
à exclure de R les valeurs de x telles que x3 + 6x = x(x2 + 6) = 0.
Un carré étant toujours positif la seule valeur à exclure de R est x=0.
Conclusion: Df ' = R\{0} = R*.
Alain Larroche.
Puce1.gif (552 octets) Réponse de J-P Houbard à la question N°1 :

1) f(x) = 1/(x²-4)1/2 = (x²-4) -1/2

f’(x) = [-1/2(x²-4) -3/2].2x

f’(x) = - x/ (x²-4) 3/2

f(x) est définie si (x²-4)>0 donc x²>4

f(x) est définie dans R pour x de -l’infini à -2 exclu et pour x de 2 (exclu) à + l’infini.

2) f(x) = (x³+6x)2/3

f’(x) = 2/3(x³+6x) -1/3.(3x²+6)

f’(x) = 2(x²+2)/(x³+6x)1/3

f(x) est définie dans R quelle que soit la valeur de x.

f’(x) n’est pas définie pour x=0. Ceci ne signifie pas que pour x=0, f(x) n’est pas définie mais que f(x) présente un point de rebroussement pour x=0, la val de f(x) pour x= 0 est 0.

3) f(x) = x + 1/x1/2 = x + x-1/2

f’(x) = 1 - (x-3/2)/2 = 1 - 1/(2 x3/2)

f(x) est définie dans R pour x>0 (par la présence de la racine carrée).

4) f(x) = (1 - x1/2) (1 + x1/2) = 1 - x

f’(x) = -1

f(x) est définie dans R quelle que soit la valeur de x. La présence des racines carrées dans l’expression de f(x) n’exclut pas les valeurs négatives de x car on voit que f(x) peut s’écrire sans racines carrées.

5) f(x) = [(2x - 3)2/(x - 1)3]1/3 = (2x - 3)2/³ (x - 1)-1

f’(x) = 2. 2/3 . (2x - 3)-1/³ (x - 1)-1 - (x - 1)-2 (2x - 3)2/³

f’(x) = [4(x-1) - 3(2x-3)]/ [3(x-1)²(2x-3) 1/3

f’(x) = (-2x+5)/[3(x-1)²(2x-3) 1/3]

f(x) est définie dans R quelle que soit la valeur de x sauf x=1.

f’(x) n’est pas définie pour x=3/2. Ceci ne signifie pas que pour x=3/2, f(x) n’est pas définie mais que f(x) présente un point de rebroussement.

6) f(x) = (x-1)1/2/(2x+4) = (x-1)1/2 (2x+4)-1

f’(x) = 1/2 (x-1)-1/2 (2x+4)-1 - 2(x-1)1/2 (2x+4)-2

f’(x) = [(2x+4) - 4(x-1)]/[2(2x+4)²(x-1)1/2]

f’(x) = (4-x)/[(2x+4)²(x-1)1/2]

f(x) est définie dans R pour x>=1 ( pour la racine carrée), la val de x qui annule 2x+4, soit x = -2 est déjà exclue par x>=1.

7) f(x) = (5x²+6) (x+1)2/3

f’(x)= 10 x (x+1)2/3 + 2/3[(x+1)-1/3 (5x²+6)]

f’(x) = [30x(x+1) + 10 x² +12] / [3(x+1) 1/3 ]

f’(x) = (40 x² + 30x +12) / [3(x+1) 1/3 ]

f(x) est définie dans R quelle que soit la valeur de x.

f’(x) n’est pas définie pour x=-1. Ceci ne signifie pas que pour x=-1, f(x) n’est pas définie mais que f(x) présente un point de rebroussement.

 

8) f(x) = (9-7x²)5/4

f’(x) = 5/4 [(9-7x²)1/4(-14x)]

f’(x) = [-35x (9-7x²)1/4]/2

f(x) est définie dans R si (9-7x²)>=0 donc pour -(9/7)1/2 <= x <= (9/7)1/2

9) f(x) = 2 (1-3x²)3

f’(x) = 6 (1-3x²)² (-6x)

f’(x) = -36x (1-3x²)²

f(x) est définie dans R quelle que soit la valeur de x.

10) f(x) = 5 (4x-1)3

f’(x) = 15 (4x-1)² (4)

f’(x) = 60 (4x -1)²

f(x) est définie dans R quelle que soit la valeur de x.

J-P Houbard


 
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