Soit f(X) = X² / [(2X-1)²+X²]. On me demande d'étudier la variation de f et de résoudre l'équation f(X)=a en discutant sur les valeurs de a, ce que j'ai fait. Mais on me demande ensuite : on pose a=2/5+u. Donner les développements limités à l'ordre 2 en u (et au voisinage de 0) de la ou des solutions de l'équation f(X) = 2/5+u

Pouvez vous m'aider. Merci

Juste quelques indications sans écrire le détail des calculs.
Ecrire l'équation f(x)=2/5+u,après simplification on obtient une équation du 2d degré
paramètrée par u.En utilisant les formules des solutions et à l'aide des dl2(0) de
(1+x)^.5 et de 1/(1+x)  on obtient la réponse.

Réponse de Gérard Prigent :

L'équation s'écrit : (5a-1)x^2-4ax+a=0.

Pour a=1/5 elle est de degré 1 : solution unique 1/4

Sinon son dicriminant est D=...=a(1-a) et a deux solutions pour a dans]0;1/5[u]1/5;1[ données par

x1=(2a+sqrt(a(1-a))/(5a-1) x2= ...

Avec a=2/5+u et u tendant vers zéro,on se trouve dans ce dernier cas avec

x1=...=(1/5) (4+10u+sqrt(6+5u-25u^2)) / (1+5u)

=(1/5) (a+10u+sqrt(6)(1+(5u-25u^2)/6)^0.5) (1+5u)^ -1

=(1/5) (a+10u+sqrt(6)(1+(1/2)(5u-25u^2)/6+(-1/8)((5u-25u^2)/6)^2) (1-5u+(5u)^2)+u^2e(u)

(en utilisant les DL classiques (1+x)^0.5 et (1+x)^ -1

Il reste à développer en négligeant les termes de degré supérieur à 2 pour obtenir

x1=...=(4/5+sqrt(6)/5)+(-2-11sqrt(6)/12)u+(10+1195sqrt(6)/288)u^2 +u^2 e(u) (lim(e(u)=0)

Pour x2 on recommence ; on peut aussi utiliser la somme des racines

 x1+x2= 4a/(5a-1)=....

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