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 Question :
- Qui peut me résoudre ce problème de
géométrie ? Soit un angle constant XOY et un point P se déplaçant sur OX, un point Q
se déplaçant sur OY de telle façon que la longueur PQ reste constante. La
perpendiculaire en P à OX rencontre la perpendiculaire en Q à OY au point M. Démontrez
que OM reste constant quand P et Q se déplacent (respectivement sur OX et OY)
Bubu.
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Réponse d'Alain Larroche :
- Dans ce genre d'exercices de géométrie
qui est d'abord plutôt difficicle il faut envisager les cas limites: En effet, si (PQ)
est perpendiculaire à (OX), alors dans ce cas P et M sont confondus et OM= d/sina si
j'appelle a une mesure de l'angle constant XOY et d la distance constante PQ.
Arrivé ici je me suis dit: "Comment utiliser les hypothèses?
Lorsque P et Q varient, qu'est-ce qui reste constant?
Eh bien, O, P, M et Q restent cocycliques sur un cercle (C) puisque OPM et OQM sont
respectivement rectangles en P et Q. D'autre part, si j'appelle I le centre de ce cercle
(C), J le milieu de la corde [PQ] de ce cercle (C), a étant la mesure d'un angle inscrit
dans (C) interceptant l'arc PQ, l'angle au centre PIQ a pour mesure 2a ( propriété des
angles inscrits vue en 3ème) et PIJ a pour mesure a.
Si je me place alors dans le triangle PIJ,rectangle en J,
sina= PJ/IP, mais IP= Rayon du cercle (C)= OM/2 (puisque [OM]est le diamètre de (C)) et
PJ= d/2, d'où:
Sina= d/OM, soit OM= d/sina= Constante puisque a et d sont constants.
Réponse de J-P Houbard :Résolution
analytique
Choix des axes comme indiqué sur le fichier attaché.
Soit l'origine des axes au sommet de l'angle donné XOY..
Soit l'axe des x confondu avec le coté OX de l'angle donné.
Soit l'axe des y perpendiculaire en O à l'axe des x.
Le point P sur ox a pour coordonnées (Xp , 0)
La droite OY a pour équation y = k.x (droite passant par l'origine), k
quelconque mais donné dans le problème.
Calculons les coordonnées du point Q
Posons la longueur |PQ| donnée = R
Si on trace un cercle de centre P et de rayon R, il coupera la droite OY au
point Q.
Calculons les coordonnées de ce point Q :
Equation du cercle : (x - Xp)² + y² = R²
Equation de OY : y = kx
Q se trouve à l'intersection des deux. La résolution de ce système donne :
Q [ [(X +/- (R² - k²Xp² + k²R²)1/2 ]/(1+k²) ,k [(X +/-
(R² - k²Xp² +
k²R²)1/2 ]/(1+k²) ]
La perpendiculaire à OY a une pente = -1/k
Les perpendiculaires à OY ont pour équation y = (-x/k) + b
Equation de la perpendiculaire à OY passant par Q ->
On met les coordonnées de Q dans l'équation des perpendiculaires et on tire
la valeur de b.
On trouve b = [Xp +/- (R² - k²Xp² + k²R²)1/2]/k
Donc la droite MQ a pour équation : y = (-x/k) + [Xp +/-
(R² - k²Xp² +
k²R²)1/2]/k
L'équation de la droite PM a pour équation : x = Xp
Le point M se trouve à l'intersection de ces 2 dernières, la résolution de
ce système donne :
M [ Xp , +/- [(R² - k²Xp² + k²R²)1/2]/k]
Calculons la longueur |OM|
|OM|² = Xp² + [(R² - k²Xp² + k²R²)]/k²
|OM|² = [k²Xp² + (R² - k²Xp² + k²R²)]/k²
|OM|² = [(R² + k²R²)]/k²]
|OM|² = R².(k²+1)/k²
|OM| = (R/k) . (k²+1)1/2
On voit que la longueur |OM| est indépendante de Xp , donc de la position du
point P sur OX. |OM| ne dépend que de R et de k qui sont des constantes
données du problème -> la longueur |OM| est constante quelle que soit la
position de P et des Q correspondant.
NB: le +/- que l'on retrouve en cours de texte montre qu'il y a 2 positions
possibles de Q pour chaque position du point P.
J-P Houbard
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Distance
