 Réponse de Jean Jacquelin :
réponse
: on peut voir le problème selon deux dispositions différentes qui seront traitées
successivement. La première est très simple, trop simple ! C'est probablement la seconde
dont l'auteur du problème voulait la solution.
PREMIERE
DISPOSITION: Les échelles ont leurs pieds respectifs en A et C de part et d'autre de la
rue. Leurs sommets prennent appui l'un contre l'autre en B. La figure formée est un
triangle de base AC, de sommet B, de hauteur BH=2, avec AB=4 et CB=7.
Le théor ème de Pythagore appliqué
au triangle rectangle BHA donne : AHxAH=ABxAB-BHxBH=16-4=12
De même pour
le triangle BHC : HCxHC=BCxBC-BHxBH=49-4=45
Donc
AC=AH+HC=sqrt(12)+sqrt(45)=2.sqrt(3)+3.sqrt(5)=10,172... ( sqrt étant
la fonction racine carrée)
Dans ce cas, la largeur de la rue
est 10,172 mètres.
SECONDE DISPOSITION : les échelles ont leurs pieds
respectifs en A et C de part et d'autre de la rue. Leurs sommets prennent appui
respectivement en D et E sur les murs verticaux bordant la rue. AD et CE se croisent en B,
à une hauteur BH=2 mètres.
La première échelle
(AD=4), le mur vertical correspondant DC et le sol AC forment un triangle ACD rectangle en
C. Soit (a) l'angle CAD. On a donc : AC=4 cos(a)
L'autre échelle
(CE=7), le mur vertical correspondant EA et le sol AC forment un triangle CAE rectangle en
A. Soit (c) l'angle ACE. On a donc : AC=7 cos(c)
Pour le triangle rectangle AHB avec
HB=2, on a : AH=2 cotg(a).
De même, pour le triangle rectangle
CHB , on a : HC=2 cotg(c).
Donc : AC=AH+HC=2 cotg(a)+2 cotg(c)
En résumé : AC=4cos(a)=7cos(c)=2(cotg(a)+cotg(c))
Il faut résoudre
ce système d'équations à deux inconnues (a) et (c).
En posant L=AC (largeur de la rue),
après quelques transformations le système précédent donne : 1/sqrt(16-L.L)+1/sqrt(49-L.L)=1/2.
Ceci conduit à une équation algébrique du quatrième
degré en (L.L). La résolution
littérale est connue ( formule de L. FERRARI ), mais trop
lourde pour etre développée
ici. La résolution par calcul numérique,
bien plus simple, donne L.L=7,580...
La racine carrée de ce nombre
donne, pour ce cas, la largeur de la rue : L=2,753...mètres.
Réponse de J-P Houbard :
je ne suis pas sûr d’avoir bien interprété la
question, ni l’élément de réponse donné.
Si le problème est :
2 échelles, l’une de 4m, l’autre de 7m.
Le pied de l’une des 2 posée sur la bordure de la rue et le haut appuyé sur le
mur de l’autre coté de la rue. La seconde échelle idem mais en croisant les 2
cotés de la rue.
Les 2 échelles se croisant à une hauteur de 2m conformément au dessin attaché,
alors voila ma solution.
|AD| = 7mètres
|CB| = 4 mètres
|EF| = 2 mètres
On recherche AB la largeur de la rue.
En posant |AC|=Z, |AB|=X, |FB|=W et |BD|=Y
Les triangles ACB et FEB sont semblables et rectangles.
Les triangles ABD et AFE sont semblables et rectangles.
DE là, on tire les 4 équations (en tenant compte des longueurs connues) :
X/W=Z/2
X/(X-W)=Y/2
X² + Y² = 49
X² + Z² = 16
4 éq à 4 inconnues
On tire Y en fonction de Z en éliminant W des 2 premières.
On remplace le Y ainsi trouvé dans la 3eme équation
Et ceci avec la 4eme équation permet de trouver Z et X ...
On trouve X=2,753 Y=6,57 Z=2,90 W=1,897
La rue (qui est ici plutôt une ruelle) fait donc 2,753 mètres.
Réponse de Vanni Gorni le
22 MArs 2001 à 21h49 :
Soient Fig.1: AC = 4, BD = 7 les longueurs des
échelles, PH = h = 2 la hauteur du point où se croisent les échelles et AB
la largeur de la rue. Entre les aires des triangles de la figure on trouve les relations
suivantes:
S(ABC) = S(ABP) + S(BCP)
S(ABD) = S(ABP) + S(APD)
En posant BC = x et AD = y; x, y > 0, on a
(a + b)x = (a + b)h + bx
(a + b)y = (a + b)h + ay
d’où on déduit le système suivant par rapport aux deux inconnues a et b
(x –
h)a |
– |
hb |
= |
0 |
– ha |
+ |
(y –
h)b |
= |
0 |
Il s’agit d’un système à deux équations
linéaires et homogènes qui admet des solutions autre que la solution a = b
= 0 si et seulement si
il en découle que h = xy/(x + y)
= 2, donc y = 2x/(x – 2), x ¹
2.
Les deux triangles rectangles ABD et ABC ont le côté AB commun, par
conséquent BD2 – DA2 = AC2
– CB2 c’est-à-dire 72 – y2
= 42 – x2 d’où l’on en tire y2
– x2 = 33. Donc il faut résoudre le système
y2 – x2 = 33
y = 2x/(x – 2)
x, y >0
x ¹ 2
on obtient alors une équation algébrique du quatrième degré
x4 – 4x3 + 33x2
– 132x + 132 = 0.
Mais comme la seconde équation de ce système peut se
mettre sous la forme y = 2x/(x – 2) = 2 + 4/(x –2)
on peut interpréter le système à l’aide des deux hyperboles f(x) = ± (x2
+ 33)1/2 et g(x) = 2 + 4/(x –2) Fig.2.
Le dessin obtenu permet de supposer l’existence,
confirmé par le calcul numérique, soit des deux racines x1, x2
Î C: x1 @ –
0,199 + 5,511i, x2 @ –
0,199 – 5,511i , soit des deux autres racines x3, x4
Î R représentées dans le graphique: x3 @ 1,496, x4 @ 2,902;
mais y3 @ – 5,936 et y4
@ 6,436 donc AB = (AC2 – CB2)1/2
= (42 – x42)1/2 @ 2,753 m est la largeur de la rue.
A bientôt. Cordialement, Vanni Gorni.
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Echelle
