Ci joint trois expressions peut on confirmer ou pas une égalité.Merci
Bien à vous. Quelqu’un peut il me dire si ses expressions peuvent s’égaliser

merci pour toutes réponses Email lelong.bonnaric@free.fr

La formule suivante du produit infini est bien connue. On en déduit immédiatement la solution correspondante à la première question posée :

On ne peut pas répondre à la seconde question car l'indice variable (n) apparait hors de la somme infinie.

La troisième formule est incompréhensible sans  signe somme ou produit.

Réponse de J-P Houbard du 26/10/01 à 13h 15 :

Comme la mentionné Monsieur Jacquelin, je pense également qu’il y a des erreurs dans l’énoncé. Je ne sais pas quelle est l’erreur pour la 2^ème expression, mais je pense que pour la 3^ème, il manque limite pour n -> infini.

Si c’est le cas, on a alors : lim n->infini de 2^(n+1) . [sin(x / 2^n)] / sin(2x).

= [1/sin (2x)] . lim n->infini de 2^(n+1) . [sin(x / 2^n)]

= [1/sin (2x)] . lim n->infini de [2^(n+1) . (x / 2^n)] . [(sin(x / 2^n)) / (x/2^n)]

Comme x->infini donne x/2^n -> 0, on a lim n->infini de [(sin(x / 2^n)) / (x/2^n)] = 1.

Et donc : lim n->infini de 2^(n+1) . [sin(x / 2^n)] * (x/sin(2x)) = [1 / sin (2x)] . lim n->infini de [2^(n+1). (x / 2^n)] = 2x / sin (2x) = 2x/ (2.sin x .cos x). lim n->infini de 2^(n+1) . [sin(x / 2^n)] / sin(2x) = x / (sin x . cos x). Et comme l’a montré Monsieur Jacquemin, la première expression est aussi égale à  x / (sin x . cos x). Donc (après la correction de l’énoncé dont j’ai parlé), la première et la troisième expressions sont égales.

Réponse de Jean Jacquelin du 29/10/01 à 12h 47 :

L'écriture de la deuxième expression proposée est manifestement incorrecte.

Toutefois, à la suite de l'interprétation pertinente que Monsieur J-P Houbart a donnée pour la troisième expression, on peut supposer que la question était la suivante :

Etant donné que tout cosinus est compris entre -1 et 1, la somme au dénominateur est comprise entre -N et +N. La valeur absolue de l'expression est donc supérieure à 2^N/N. Lorsque N tend vers l'infini, 2^N/N tend vers l'infini.

Conclusion : La limite est infinie (avec le signe + ou - , selon la valeur de a ).

Une expression voisine est :

REMARQUE : si on voulait que le résultat soit le même que pour les questions 1 et 3, on aurait pu poser la question 2 sous la forme suivante :

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