Avant d'entrer dans le vif du sujet, il y a une remarque préliminaire qui s'impose : si on veut obtenir les rayons polaire et équatorial avec une précision suffisante, il faut avoir mesuré les arcs de méridiens avec une précision équivalente. Dans la question posée, on donne 110 km et 111 km , qui sont manifestement des valeurs arrondies et d'une précision très insuffisante pour espérer que les rayons qui seront calculés puissent être valablement comparés avec 6356 et 6378 km respectivement. Si l'incertitude sur les données est de l'ordre de ± 0,5 km, l'incertitude sur les rayons calculés sera de l'ordre de ± 29 km ce qui enlève beaucoup d'intérêt à ce calcul (ainsi que nous le verrons à la fin).

Passons à l'établissement des formules théoriques.

Soient R et r les rayons équatorial et polaire respectivement, à calculer.

La figure suivante donne les formes polaire et cartésienne de l'équation de l'ellipse :

La longueur d'arc de méridien entre deux angles q₁ et q₂ (en radian) est donnée par :

Cette expression est une intégrale elliptique incomplète de Legendre F(p,F), donc :

Dans le cas du présent problème, on connaît deux longueurs d'arc. On peut donc constituer, avec ces intégrales elliptiques, un système de deux équations à deux inconnues R et r. Toutefois la résolution en serait ardue. Elle ferait appel aux tables de la fonction intégrale elliptique incomplète et à un calcul par récurrence. Une autre méthode très précise consiste à effectuer des développement en série, dont le point de départ est le suivant :

Une méthode approchée encore plus simple consiste à assimiler l'ellipse à ses cercles osculateurs au voisinage de ses sommets, ce qui revient, en fait, au développement en série limité au second ordre et c'est bien suffisant (le rapport entre les termes des troisième et premier ordres est inférieur à 10^-6 ). Cela donne les relations très simples suivantes, en négligeant donc les termes du troisième ordre et plus (les termes du second ordre sont exactement nuls) :

Dans ces formules, l est la variation de latitude correspondant à l'arc de méridien mesuré au voisinage des sommets de l'ellipse. Pour une valeur d'angle l = p/180, avec d_e = 110 ± 0,5 et d_p = 111 ± 0,5 on trouve :

R = 6341 ± 29 et r = 6322 ± 29

Comparés à 6378 et 6356 respectivement, on voit que l'on est encore hors de la fourchette d'incertitude. Ceci est très probablement dû à ce qu'on ne sait pas quel a été l'arrondi qui a donné 110 et 111 (on a pris ± 0,5 arbitrairement). Il est clair que, pour avoir un résultat significatif, il faudrait que d_e et d_p soient connus avec au moins un chiffre certain en plus après la virgule.

Aux erreurs près.

Soit une ellipse donnée par

x = a.cost

y = b.cost

0<= t <= 2Pi.

Une longueur d’arc est donnée par :

L = intégrale racine carrée((a².sin²t + b².sin²t)).dt

En posant k = (rac car (a²-b²))/a.

L = a*intégrale de rac car(1-k².cos²t).dt.

Malheureusement ce type d’intégrale ne peut être exprimé au moyen de fonctions élémentaires.

On peut alors approcher sa valeur par la méthode de Simpson.

Avec L1 = 2.L calculée entre 89,5° et 90°

et L2 = 2L calculée entre 0 et 0,5°.

On divise les angles en (par exemple) 4 parties (plus il y en a et plus c’est précis mais plus long à calculer).

Pour L1 on calcule rac car(1-k².cos²t) pour t = 89,5° ; 89 ,625° ; 89,75° : 89,875° (la fin de cet intervalle est donc 89,875+0,125=90°)

On trouve  pour L1 :

t = 89,5° -> rac carrée de(1 – k²cos²t)=rac car de (1 - 7,61524218.10^-5k²)

t = 89,625° -> rac car de (1 - 4,28362130.10^-5k²)

t = 89,75° -> rac car de (1 - 1,9038479.10^-5k²)

t = 89,875° -> rac car de (1 - 4,7596396.10^-6k²)

On fait la même chose pour L2 pour 0° ; 0,125° ; 0,25° ; 0,375° 

(je ne copie pas les réponses . . . )

On fait la somme des valeurs trouvées pour L1 et la somme des valeurs trouvées pour L2. On fait le rapport de ces sommes et on sait par hypothèse qu’on doit trouver 111 / 110. (Il reste k comme inconnue).

Par approximations successives (ou avec un tableur), on trouve la valeur de k qui convient .

On trouve k = 0,133933.

En remplaçant k par sa valeur dans les valeurs trouvées pour L1 et en appelant A la somme de ces valeurs, on trouve A = 3,999998164

On fait pareil dans les valeurs trouvées pour L2 et en appelant B la somme de ces valeurs, on trouve B = 3,96396216.

La valeur des intégrales correspondantes sont obtenues en multipliant A et B par le delta t (0,5°/4 ) correspondant.

0,5°/4 = 0,5 *Pi / (180 *4 ) Radian ->

L1 = 111 = 2.a.A *(0,5 * Pi / (4 * 180))

a = 111 *180 *4 / (2 * A * 0,5 * Pi)

a = 6359,83 km.

Cette valeur de a dans k = 0,133933 = (rac car (a²-b²))/a ->

b = 6302,53 km.

Le rayon équatorial est donc égal à 6359,83 km et le rayon polaire à 6302,53 km.

On rejoint ici les valeurs calculées en ayant confondu l’ellipse avec des cercles, ce qui est logique étant donné la faible excentricité de l’ellipse.

On a donc une ellipse dont le grand axe (diamètre équatorial) = 2 a = 12719,66 km

et le petit axe (diamètre polaire) = 2b = 12605,06 km.

L’équation de l’ellipse d’un méridien avec l’origine des axes au centre de la terre, ox dans le plan de l’équateur et oy vertical à ce plan est :

(x²/12719,66) + (y²/12605,06) = 1. (avec x et y en km).

Les valeurs des rayons trouvés sont légèrement différentes de 6378 km et 6356 km attendus. Il peut y avoir 2 raisons à cela. L’approximation des intégrales par la méthode de Simpson a été faite avec seulement 4 paliers (de 0,125°), augmenter le nombre de paliers augmenterait la précision.

La plus grosse " erreur " provient plus probablement des données du problème.

On donne 111 km et 110 km pour 1° au pôle et à l’équateur, ces données sont évidemment exprimées avec une certaine précision et quelques centaines de mètres sur ces valeurs modifieraient les solutions suffisamment pour avoir les réponses attendues.

Je pense que les données plus précises sont 111,32 km et 110,93 km (à vérifier). On a probablement laissé tomber les décimales pour énoncer le problème.

Dans un problème où l’ellipse aurait une excentricité plus forte, la méthode décrite ci-dessus (avec plus de paliers dans Simpson) reste valable tandis que l’approximation (ellipse = cercle) deviendrait de plus en plus fausse.

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Les rayons équatorial et polaire étant plus exactement 6378 km et 6356 km que ceux trouvés à partir des données imprécises du problème, l’équation de l’ellipse d’un méridien (avec le même choix d’axe que précédemment) est :

(x²/12756) + (y²/12712) = 1. (avec x et y en km).