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 Question de Soul Surfer du
05/06/01 à 17h 35 :
Un point M d'un cercle de rayon
1 qui roule sans glissement sur un cercle de rayon 4 décrit une courbe, appelée
épicycloïde à 4 rebroussements, admettant la représentation paramétrique suivante :
x = 5cos(t)-cos(5t)
y = 5sin(t)-sin(5t)
Calculer la longueur de cette épicycloïde à 4 rebroussements. |
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 Réponse de Jean Jacquelin
du 07/06/01 à 15h 15 :
Une variation dt fait passer
du point (x,y) au point (x+dx,y+dy), donc une distance parcourue ds=((dx)^2+(dy)^2)^(1/2).
Calculons ds.
dx = (-5sin(t)+5sin(5t))dt = 10cos(3t)sin(2t)dt
dy = (5cos(t)-5cos(5t))dt = 10sin(3t)sin(2t)dt
(ds)^2 = (dx)^2+(dy)^2 = (10sin(2t)dt)^2
ds = 10.abs(sin(2t))dt ( abs : valeur absolue) car ds est positif.
On intègre ds pour t=0 à 2Pi (1 tour). La valeur absolue oblige d'intégrer de t=0 à
Pi/2 pour que le sin reste positif. On trouve 4 fois cette valeur entre 0 et 2Pi.
s = 40.Somme(sin(2t)dt) de t=0 à Pi/2
s = 40.(1/2)(-cos(Pi)+cos(0)) = 40
La longueur de l'épicycloïde est 40.
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Epicycloïde
