 Réponse de J-P Houbard du
21/04/01 à 23h 26 :
Il y a une infinité de
solutions, voici une manière pour pouvoir les trouver:
On a forcément d>c, dans un premier temps, il faut chercher les solutions pour
lesquelles on a :
d = c + 1 (éq 1)
On a donc c = d - 1 et c² = (d² + 1 -2d) ce qui amène :
a² + b² = d² - c².
a² + b² = d² - (d² + 1 -2d).
a² + b² = 2d - 1 (éq 2).
Une courte réflexion amène que avec l'éq 1, on a obligatoirement « a » pair
et « b » impair ou vice-versa. On peut alors par simple calcul établir le
tableau suivant, en imposant a et b, en tirant « d » de l'éq 2 et ensuite «
c » de l'éq 1.
a b
c
d.
1 2
2
3.
1 4
8
9.
1 6
18
19.
et ainsi de suite pour a = 1 et b = 8, 10 , 12 .
2 1
2
3.
2 3
6
7.
2 5
14
15.
et ainsi de suite pour a = 2 et b = 7, 9 , 11 .
3 2
6
7.
3 4
12
13.
3 6
22
23.
et ainsi de suite pour a = 3 et b = 8, 10 , 12 .
On continue ce tableau
aisément pour n'importe quelle valeur de a et de
b.(un pair et l'autre impair).
Il est ensuite aisé, à partir de ce tableau de déduire les autres solutions
existantes.
Supposons que l'on désire maintenant un écart de « n » entre d et c (au lieu
de 1). If suffit de multiplier tous les nombres du tableau ci-dessus par «
n » et chaque nouvelle ligne ainsi obtenue sera solution.
Un exemple :
On veut un écart de 20 entre d et c, on prend n'importe quelle ligne du
tableau (je choisis la dernière) , je multiplie tout par 20 et on a : a
=
60, b = 120, c = 440, d = 460 qui est solution.
J-P Houbard. Réponse de Vanni Gorni du
22/04/01 à 9h 25 :
Bonjour. Comme
(x2 – y2)2
+ (2xy)2 = (x2 + y2)2
on a
(x2 – y2 – z2)2 +
(2xy)2 + (2xz)2 = (x2 + y2+ z2)2
donc
a = x2 – y2 – z2, b = 2xy, c
= 2xz, d = x2 + y2 + z2
A bientôt. Cordialement, Vanni Gorni.
Réponse de Guy Philippe du
23/04/01 à 10h 23 :
bonjour et bravo pour cette
élégante approche de Vanni Gorni qui donne bcp de solutions
avec b et c pairs mais on ne les obtiendra pas toutes ainsi .On ne trouvera
pas a=6,b=2,c=3,d=7
(36+4+9=49) par exemple.Affaire à suivre.
Bien cordialement
GP
Réponse d'Alain Larroche du
23/04/01 à 11h 35 :
bonjour, je vais utiliser la
somme des 3 carrés (théorème dû à Gauss dont une démonstration se trouve par exemple
dans Cours d'arithmétique de Jean-Pierre Serre, éditions Puf, pages 79 et 80) dont l'énoncé est:
Pour qu'un entier positif n soit somme de 3 carrés, il faut et il suffit qu'il ne soit
pas de la forme 4a(8b - 1), avec a, b Î Z.
Dans ces conditions, 9 par exemple , congru à 1 modulo 8, est somme de trois carrés et
le quadruplet solution est (a,b,c,d) = (1,2,2,3).
De même, 9n, congru à 1 modulo 8, est somme de trois carrés et il
existe 3 entiers an, bn, et cn tels que le quadruplet
solution est (an,bn,cn,3n).
D'où une infinité de solutions, puisque n décrit N*.
Réponse de J-P Houbard du
23/04/01 à 23h 01 :
en complément à ma réponse précédente, on peut trouver des valeurs
manquantes en établissant un tableau similaire à celui présenté précédemment
mais en mettant des nombres impairs pour a et b, les formules à appliquer
sont identiques, on obtient :
a b
c
d.
1 1
0.5
1.5.
1 3
4.5
5,5.
1 5
12,5
13,5. et ainsi de suite pour a = 1 et
b = 7, 9 , 11 .
3 1
4,5
5,5.
3 3
8,5
9,5.
3 5
16,5
17,5. et ainsi de suite pour a = 3 et
b = 7, 9 , 11 .
On continue ce tableau aisément pour n'importe quelle valeur de a et de b.(
impairs tous les deux).
A partir de ce tableau, on peut multiplier n'importe quelle ligne par un
nombre pair et on trouve des solutions qui n'était pas données
précédemment..
Dans les tableaux précédents, il est évident que les valeurs de a, b et c
peuvent être permutées et que donc la solution 6, 2 , 3 , 7 (voir réponse
de Guy Philippe si son intervention concernait ma réponse) était bel et bien
déjà présentée dans le tableau de ma première intervention et était 3, 2 , 6
, 7 qui est équivalente.
La difficulté de cette méthode est justement causée par ces permutations
permises. Si on veut trouver par exemple toutes les valeurs de c et de d qui
satisfont l'équation avec a et b imposés, cela peut être laborieux.
Dans ce cas, il existe une autre méthode.
Illustration par deux exemples simples : Je cherche les valeurs de c et d
avec a = 6 et b = 2.
On calcule a² + b² = 36 + 4 = 40.
On a donc : d² - c² = 40.
(d - c) . (d + c) = 40.
On recherche les différentes façons d'avoir 40 en multipliant 2 nombres
entiers. Les cas possibles sont : 1x 40, 2x20, 4x10, 5x8.
Puisque 40 est pair, une simple réflexion montre que d et c doivent être
tous les 2 pairs ou tous les 2 impairs, il est impossible d'avoir un pair et
l'autre impair. -> (d-c) et (d+c) sont pairs.
A partir de là, seules les solutions 2x20 et 4x10 restent.
a) Avec 2x20 : on a (d - c) = 2 et (d + c) = 20 ->d = 11 et c = 9.
b) Avec 4x10 : on a (d - c) = 4 et (d + c) = 10 ->d = 7 et c = 3.
On trouve donc que avec a = 6 et b = 2 , on peut avoir (c = 9 et d = 11) ou
(c = 3 et d = 7).
Avec d'autres exemples, on pourrait avoir (a² + b²) impair.
ex : a = 3 et b = 6.
On calcule a² + b² = 9 + 36 = 45.
On a donc : d² - c² = 45.
(d - c) . (d + c) = 45.
On recherche les différentes façons d'avoir 45 en multipliant 2 nombres
entiers. Les cas possibles sont : 1x45, 3x15, 5x9.
Puisque 45 est pair, une simple réflexion montre que d et c doivent être
l'un pair et l'autre impair, donc d+c est impair et d-c est impair aussi.
Par contre la somme des 2 diviseurs doit être paire.
A partir de là, toutes les solutions restent.
a) Avec 1x45 : on a (d - c) = 1 et (d + c) = 45 ->d = 23 et c = 22.
b) Avec 3x15 : on a (d - c) = 3 et (d + c) = 15 ->d = 9 et c = 6.
c) Avec 5x9 : on a (d - c) = 5 et (d + c) = 9 ->d = 7 et c = 2.
On trouve donc que avec a = 3 et b = 6 , on peut avoir (c = 22 et d = 23) ou
(c = 6 et d = 79) ou (c = 2 et d = 7).
Cette méthode peut être un peu longue bien que aisée si on travaille avec de
grands nombres, ceci est logique puisque alors la probabilité d'avoir
beaucoup de diviseurs augmente, mais cela peut également entraîner un plus
grand nombre de solutions.
Jean-Pol Houbard
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Equations du 2ème degré
à 4 inconnues
