On comprend mieux en utilisant la notation dy/dx au lieu de y' et d²y/dx² au lieu de y''.

De plus, lorsqu'on fait un changement de variable, on risque de confondre y' (dérivé par rapport à x) avec y' (dérivé par rapport à t ). On peut quand même utiliser les notations y' et y'' en mettant des indices x ou t pour distinguer si les dérivations sont faites par rapport à x ou à t (mais alors, il ne faut pas les confondre avec la variable qui peut etre indifféremment x ou t )

Dans ce qui suit, on réserve y' et y'' uniquement pour les dérivations par rapport à x. Pour les dérivations par rapport à t, on n'utilisera uniquement dy/dt et d²y/dt² ce qui évitera les confusions.

x=exp(t) et dx/dt=exp(t)=x ; donc t=ln(x) et dt/dx=1/x=exp(-t)

y' = dy/dx = (dy/dt)(dt/dx) = (dy/dt)(1/x) = (dy/dt).exp(-t)

donc xy' = x(dy/dx)=x(dy/dt)(1/x) = dy/dt : on voit que x a disparu !

Essayons avec y'' = d²y/dx² = d((dy/dx)/dx = d(y')/dx

y'' = d((y')/dx = (d(y')/dt)(dt/dx)=(d(y')/dt)(1/x) donc xy''=(d(y')/dt)

d(y')/dt = d( (dy/dt).exp(-t))/dt = (d²y/dt²).exp(-t)-(dy/dt).exp(-t)

xy''= ((d²y/dt²)-(dy/dt))exp(-t)

x²y" = ((d²y/dt²)-(dy/dt)) : on voit que x a disparu.

Revenons à l'équation différentielle : x²y''+xy'-4y+4x²=0

(d²y/dt²)-(dy/dt)+(dy/dt)-4y+4exp(2t)=0

(d²y/dt²)-4y+4exp(2t)=0

Il n'y a plus que y et t. Si l'on veut, on peut maintenant revenir à la notation en y' et y'', à condition de bien noter que ce sont des dérivations par rapport à t et non plus par rapport à x comme au début. Généralement, la distinction entre les notations se fait en mettant x ou t en indices.

On a alors y''-4y = -4exp(2t), ce qui est bien une équation à coefficients constants avec second membre.

Après avoir obtenu y(t), on revient à y(x) et on trouve finalement :

y = -x².ln(x)+a.x²+b/x²  (avec les constantes d'intégration a et b)