Solution à la question N°2 proposée par J-P Houbard le 18/09/01 à 14h 44 :
Je ne sais pas si ce qui est attendu, mais voilà ce que j'en pense :
f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1    (1).
Calcul lorsque :  f(y) = 0 ->
(1) -> f(x) = f(0) + f(x) - 1 -> f(0) = 1.   (2)
Calcul lorsque :  f(y) = x -> (1) -> f(0) = f(x) + x² + f(x) - 1.
Et avec (2), on a : 1 = f(x) + x² + f(x) - 1. 2.f(x) = 2 - x²
Donc : f(x) = (2 - x²) / 2. Vérification :
f(x) = (2 - x²) / 2.
f(y) = (2 - y²) / 2.
x - f(y) = x - ((2 - y²) / 2) = (2x - 2 + y²) / 2.
f(x-f(y)) = (2 - ((2x - 2 + y²) / 2)²) / 2.
Après développement :
f(x-f(y)) = (4 - 4x² -(y^4) + 8x - 4xy² + 4y²) / 8   (3).
f(f(y) = ( 2 - ((2 - y²) / 2)²) / 2
f(f(y) = (4 - (y^4) + 4y²) / 8.
f(f(y))+xf(y)+f(x)-1 = ((4 - (y^4) + 4y²) / 8) +( x . (2 - y²) / 2) + ((2 -
x²) / 2) -1.
Après développement :
f(f(y))+xf(y)+f(x)-1 = (4 - 4x² -(y^4) + 8x - 4xy² + 4y²) / 8   (4).
(3) et (4) ->
f(x-f(y)) = f(f(y))+xf(y)+f(x)-1
Qui est  bien la relation de départ.

Solution à la question N°1 :

1) Si f(x) = a = constante, alors en remplaçant dans l'équation fonctionnelle (E) nous obtenons:
a + a = 2a², soit a = 0 ou a = 1. Nous nous plaçons désormais dans le cas où f n'est pas cosntante.
2) Si nous remplaçons y par x et si nous dérivons l'équation (E) par rapport à x nous obtenons:
2f '(2x) = 4f '(x)f(x), et si nous dérivons une seconde fois par rapport à x:
4f "(2x) = 4f "(x)f(x) +4f '²(x) soit f "(2x) = f "(x)f(x) +f '²(x): (F).
Si nous dérivons deux fois l'équation (E) par rapport à x nous obtenons:
f "(x+y) + f "(x-y) = 2f(y)f "(x), soit en remplaçant maintenant y par x,
f "(2x) +f "(0) = 2f(x)f "(x).
Si nous remplaçons dans (F), f "(2x) par -f "(0) + 2f(x)f "(x) nous obtenonsl'équation (G):
y"y -y'² = y"(0) si nous posons y = f(x).
3) Si nous remplaçons dans (E) y par 0 alors nous obtenons:
2f(x) = 2f(x)f(0) soit f(x)(1-f(0))=0.
Si pout tout x, f(x) = 0 nous sommes dans le cas 1) mis de côté.
Nous avons donc f(0) = 1.

A l'aide ce cette dernière donnée on résout l'équation (G) et on trouve
que f(x) = chx = cosinus hyperbolique de x = [exp(x) + exp(-x)]/2.

Alain.