Bonjour Mr Jean-Pol Houbard, avant tout je tiens à vous remercier pour votre
coopération ainsi pour votre solution détaillée et précise. toutefois, dans votre réponse concernant la question N°4 du 5/9/1 à 13h 21, Vous avez évoquez la
possibilité de présenter les solutions R1, R2 et R3 sous d'autres formes équivalentes.
- Quelles sont les formes équivalentes possibles?.
- Peut-on trouver des solutions à la racine carrée en fonction des cofficients b et c seulement pour une équation de 3ème degré: x^3-2.b^2.x+c.b^2=0. Merci infiniment.
 
Question N°5 de Djelloul Sebaa du 08/11/01 à 01h 39 :

Bonjour amis du Forum,
1) Résoudre dans R l'équation de 3ème degré suivante :
  
            X^3-3X+ [6-(8)^1/2]^1/2 = 0

2) Tracer la courbe de la fonction :

           f(x)= X^3-3X+ [6-(8)^1/2]^1/2

                           Merci.
                         Djelloul Sebaa

                      
Question N°3 de Djelloul Sebaa du 21/04/01 à 04h 39 :

Bonjour amis du forum,
Résoudre les équations du 3ème degré:
1) 2ax^3+3b^2x^2-b^4=0
2) 2ax^3-3b^2x^2+b^4=0
Calculer x en fonction des coefficients a et b.
avec a, b positifs et b superieur à a (b>a).

Question N°4 de Djelloul Sebaa du 01/09/01 à 21h 07 :

Bonjour amis du forum, résoudre dans R (+) l'équation de 3 ^ème degré :
x³ - 3 b²x + cb² = 0
avec b et c positifs , tel que c inférieure ou égale à 2b.
Vérifier que : x = b.[ 3 - ( 9 - 5k)^1/2 ]^1/2 avec k supérieure ou égale à 1 et k inférieure ou égale à 9/5 et c = ( 9 - 5k)^1/2 . { b.[ 3 - ( 9 - 5k)^1/2 ]^1/2 }. Merci. Djelloul sebaa.

Réponse de Jean-Pol Houbard à la question N°5 du 11/11/01 à 20h 42 :

  Réponse de Jean-Pol Houbard à la question N°3 du 23/04/01 à 15h 57 :

Rappel succinct de la théorie permettant de résoudre n'importe quelle
équation du type   x³ + ax² +bx + c = 0.
En posant x = y - (a/3), ces équations peuvent être ramenées à la forme :
y³ + py + q = 0.
3 cas peuvent alors se présenter :
1) (q/2)² + (p/3)³ > 0.
Il y a alors une racine réelle R.
R = ((-(q/2)+((q/2)² + (p/3)³)^(1/2))^(1/3)) + ((-(q/2) - ((q/2)²
+(p/3)³)^(1/2))^(1/3)).
Il y a aussi 2 racines complexes conjuguées C1 et C2.
C1 = -(R/2) + i.((3R² + 4p)^(1/2))/2.
C2 = -(R/2) - i.((3R² + 4p)^(1/2))/2.
2) (q/2)² + (p/3)³ = 0.
Il y a alors une racine double R1 = R2 = -3q/(2p).
Il y a aussi une 3ème racine : R3 = 3q/p.
3) (q/2)² + (p/3)³ < 0.
Il y a 3 racines réelles que l'on peut trouver par une méthode
trigonométrique.
R1 = [(-4p/3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-q.((-27/(4p³))^(1/2)))].
R2 = [(-4p/3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-q.((-27/(4p³))^(1/2))) + (2.Pi/3)].
R3 = [(-4p/3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-q.((-27/(4p³))^(1/2))) + (4.Pi/3)].

Application de la théorie à l'équation  2ax³ + 3b²x² - (b^4)=0.
x³ + (3b²/2a)x² - (b^4)/2a = 0.   (éq 1).
poser x = y - (b²/2a).    (éq 2)

x² = y² + (b^4)/4a² - yb²/a.
x³ = y³ +  3(b^4).y/4a² - 3y²b²/2a - (b^6/8a³).

-> y³ +  3(b^4).y/4a²  - (b^6/8a³) + (3b^9/8a³) - (3yb^6/2a²)- (b^4)/2a = 0.
y³ -  3(b^4).y/4a²  + (b^6/4a³) - (b^4)/2a = 0.  (éq 3).

on a donc p = -  3(b^4)/4a² et q = (b^6/4a³) - (b^4)/2a
(q/2)² + (p/3)³ = (b^12/64a^6) + (b^8)/16a² - b^10/(16a^4) - (b^12)/(64a^6).
(q/2)² + (p/3)³ = (b^8/16a²) . (1 - b²/a² ).
avec (b^8/16a²) positif, le signe de (q/2)² + (p/3)³ est le signe de  (1 -
b²/a² ), donc négatif  puisque b>a.

Puisque (1 - b²/a² ) < 0, les solutions sont données par le cas 3 décrit
ci-avant où on remplace « p » par « -3(b^4)/4a² »et « q » par  « (b^6/4a³) -
(b^4)/2a ».
Il vient :
Y1 = [(-4.(-3.(b^4)/4a²) /3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-((b^6/4a³) -
(b^4)/2a ).((-27/(4.(-3(b^4)/(4a²)) ³))^(1/2)))].
Y2 = [(-4.(-3.(b^4)/4a²) /3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-((b^6/4a³) -
(b^4)/2a ).((-27/(4.(-3(b^4)/(4a²)) ³))^(1/2))) + (2.Pi/3)].
Y3 = [(-4.(-3.(b^4)/4a²) /3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-((b^6/4a³) -
(b^4)/2a ).((-27/(4.(-3(b^4)/(4a²)) ³))^(1/2))) + (4.Pi/3)].

Les solutions ainsi trouvées sont celles de l'éq 3 (donne les valeurs de y),
pour trouver celles de l'équation1(valeurs de x), il faut passer par l'éq 2,
donc retrancher (b²/2a) à chaque valeur trouvée pour y.
X1 = [(-4.(-3(b^4)/4a²) /3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-((b^6/4a³) - (b^4)/2a
).((-27/(4.(-3(b^4)/(4a²)) ³))^(1/2)))] - (b²/2a).
X2 = [(-4.(-3(b^4)/4a²) /3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-((b^6/4a³) - (b^4)/2a
).((-27/(4.(-3(b^4)/(4a²)) ³))^(1/2))) + (2.Pi/3)] - (b²/2a).
X3 = [(-4.(-3(b^4)/4a²) /3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-((b^6/4a³) - (b^4)/2a
).((-27/(4.(-3(b^4)/(4a²)) ³))^(1/2))) + (4.Pi/3)] - (b²/2a).

Vérification par un exemple numérique :
2ax³ + 3b²x² - (b^4)=0
avec a=2 et b=3.
-> 4x³ + 27x² - 81 = 0.
X1 = [(-4.(-3.(3^4)/(4.2²)) /3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-((3^6/(4.2³)) -
(3^4)/(2.2)).((-27/(4.(-3.(3^4)/(4.2²)) ³))^(1/2)))] - (3²/(2.2)). =
1,560944.
X2 = [(-4.(-3.(3^4)/(4.2²)) /3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-((3^6/(4.2³)) -
(3^4)/(2.2)).((-27/(4.(-3.(3^4)/(4.2²)) ³))^(1/2)))+(2.Pi/3)] - (3²/(2.2)) =
-6.227917.
X3 = [(-4.(-3.(3^4)/(4.2²)) /3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-((3^6/(4.2³)) -
(3^4)/(2.2)).((-27/(4.(-3.(3^4)/(4.2²)) ³))^(1/2)))+(4.Pi/3)] - (3²/(2.2)) =
-2.083026.
Les valeurs trouvées pour X1, X2 et X3 sont bien solutions de l'équation.

La résolution de l'équation 2ax³ - 3b²x² + (b^4)=0 peut se faire de manière
analogue. (comme d'ailleurs toutes les autres de forme x³ + ax² +bx + c = 0
Avis aux amateurs.
Réponse de Jean-Pol Houbard à la question N°4 du 5/9/1 à 13h 21 :
Par application directe de la théorie donnée pour la question 3 ->
p =-3b² et q = cb².    (1)
Calcul de (q/2)² + (p/3)² = ((b^4)/4).(c²-4b²)
Et avec c<=2b et b et c positifs., on a donc  (q/2)² + (p/3)² <=0.
Donc 2 cas à étudier.
a) (q/2)² + (p/3)² =0. (donné par c = 2b)
En se référençant à la théorie, on a immédiatement :
R1 = R2 = (-3q/2p) = c/2 = b.
R3 = (3q/p) = -c = -2b.
Exemple numérique pour vérification :
c = 2 et b = 1 -> équation est : x³ - 3x + 2 = 0.
On a R1 = R2 = b = 1 et R3 = -2b = -2. Ce qui est bien exact.
b) (q/2)² + (p/3)² <0.
En se référençant à la théorie, on a immédiatement :
R1 = [(-4p/3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-q.((-27/(4p³))^(1/2)))].
R2 = [(-4p/3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-q.((-27/(4p³))^(1/2))) + (2.Pi/3)].
R3 = [(-4p/3)^(1/2)] . cos[(1/3).Arccos(-q.((-27/(4p³))^(1/2))) + (4.Pi/3)].
Et en remplaçant p et q par  (1), on a :
R1 = 2b.cos[(1/3).Arccos(-c/b²)].
R2 = 2b.cos[(1/3).Arccos(-c/b²) + (2.Pi/3)].
R1 = 2b.cos[(1/3).Arccos(-c/b²) + (4.Pi/3)].
Exemple numérique pour vérification :
c = 1 et b = 2 -> équation est x³ - 12x + 4 =0.
On a R1 = 4.cos[(1/3).Arccos(-1/4)] = 3,28356705491.
R2 = 4.cos[(1/3).Arccos(-1/4) + (2.Pi/3)] = -3,62007585847.
R3 = 4.cos[(1/3).Arccos(-1/4) + (4.Pi/3)] = 0,336508803562.
On peut vérifier numériquement l'exactitude de ces 3 solutions.

Remarque, il reste évidemment possible de « triturer » les relations donnant
R1, R2 et R3 pour leur donner d'autres formes équivalentes.

Pour la vérification complémentaire demandée, je laisse le soin à d'autres
de le faire.
Un cas immédiat est cependant pour k = 1 où x = b.[ 3 - ( 9 - 5k)1/2 ]1/2  =
b et c = ( 9 - 5k)1/2 . { b.[ 3 - ( 9 - 5k)1/2 ]1/2 } = 2b.
On est donc dans le cas « c = 2b » qui donne pour solution x = b. (c'est une
des solutions données par le point « a » ci-avant).

Note de la rédaction :

La méthode de résolution de  x³ + ax² +bx + c = 0 est du à Cardan et vous pouvez trouver le détail de cette méthode aux pages suivantes :

Nantes et Chronomath.

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