Réponse Question 2 de Vanni Gorni le 10 Avril 2001 à 23h 51:

D’abord cherchons les racines de l’équation x³ - 3b²x + cb² = 0, x Î R, b > 0, c > 0, c < b; si on pose t = x/b et k = c/b, 0 < k < 1, on obtient

t³ - 3t + k = 0.

Les racines de l’équation ci-dessus sont aussi les solutions du système suivant

qui correspond à la recherche des points d’intersection de la courbe (C) d’équation y = f(t) = - t³ + 3t avec un ensemble (D) de droites y = k, 0 < k < 1, parallèles à l’axe des abscisses (en gris dans le graphique).
Pour tout t réel on a f ’(t) = - 3t² + 3 donc f ’( -1) = f ’(1) = 0 et il résulte de l’étude des variations de f(t) que
f( -1) = - 2 est minimum et f(1) = 2 est maximum.

• Si k = 1 par calcul numérique on trouve les racines de l’équation - t³ + 3t = 1 c’est-à-dire:
  t_C @ -1,879, t_D @ 0,347, t_E @ 1,532 d’où: C(-1,879; 1), D(0,347; 1) et E(1,532; 1).
• Si k = 0 on a f(- 3^1/2) = f(0) = f( 3^1/2) = 0 d’où: A(- 3^1/2; 0), O(0; 0) et B( 3^1/2; 0).

Si on nomme t₁, t₂, t₃ les racines de l’équation t³ - 3t + k = 0 on trouve

mais t = x/b par conséquent

Une des conditions du problème initial est x > 0, des solutions cherchées on peut dire que:

Nicolò Fontana dit Tartaglia ("le bègue") communiqua à Gerolamo Cardano le secret de la solution de l’équation de troisième degré sous forme d’une pièce en tercets. L’italien du XVI Siècle n’est pas facile à comprendre mais les formules reportées à côté du texte en sont une traduction bien plus efficace.

A bientôt. Cordialement, Vanni Gorni.

Réponse Question 2 de J-P Houbard le 8 Avril 2001 à 11h 06 :

Equation du 3ème degré.
Réponse question 2
Comme je l'ai mentionné lors de ma réponse sur la première question, je
pense que la méthode de Cardan n'est pas indiquée dans le cas présent. Cette
méthode a été décrite dans la réponse de Monsieur Jacquelin et je ne la
développerai donc pas ici. Notons cependant en repartant de la solution de
Monsieur Jacquelin que la méthode de Cardan ne donne une valeur réelle pour 
« u » que dans le cas où c>2b, mais le cas qui nous occupe ici n'est pas
celui là mais plutôt c < b (voir intitulé de la question).
Dans le cas où c < b, on n' a pas de valeur réelle pour « u » puisque dans
la valeur donnée pour « u », on est amené à extraire la racine carrée de
(c/2b)² - 1 (voir développement de Monsieur Jacquelin), Or si c < b, on a 
(c/2b)² - 1 < 0.
Remarque : ce n'est pas parce que « u » n'a pas de valeur réelle que les
solutions de l'équation ne sont pas elles réelles.

Brève analyse de la fonction dans les restrictions données par l'énoncé :

y = x³ -3b²x cb²
La dérivée donne :  y ' = 3x² - 3b² = 3 (x² - b²) = 3 (x - b) (x + b)
La dérivée première s'annule donc pour x = -b et pour x = b
L'étude du signe de la dérivée première entraîne :
Il y a un maximum pour x = -b et un minimum pour x = b.
En remplaçant x par -b dans y, on trouve la valeur du maximum : Ymax = 2b³
+cb² qui est positif puisque par hypothèse b et c sont positifs.
En remplaçant x par b dans y, on trouve la valeur du minimum : Ymin = -2b³
+cb².
Ymin = b²(c - 2b)  qui est négatif puisque par hypothèse c < b.
Si on calcule en plus la valeur de y pour x=0, on trouve Y = cb² qui est
positif puisque « c » est positif.

Si on représente la fonction sur un graphique à axes perpendiculaires x et y
  ->
De la position et les signes du maximum et du minimum et le fait que la
courbe coupe l'axe des y pour une valeur positive de y, on conclut que dans
les restrictions imposées par l'énoncé, il y a toujours 3 racines réelles,
une pour x négatif (qui sera donc rejetée) et les 2 autres pour x positif.

Il suffit donc de trouver ces 2 dernières.
En repartant de ma réponse à la première question on a :

cos(3Teta) = -c/(2b) et x = 2b.cos(Teta + (2kPi/3)) avec k=0, 1, 2 (dont 2
valeurs seulement correspondent aux valeurs cherchées)
-> Teta = (1/3). arccos(-c/(2b))
-> x = 2b.cos[(1/3). arccos(-c/(2b)) + (2kPi/3)]

Or par hypothèse, on a    -1/2 < (-c/(2b)) < 0
-> 90° < arccos(-c/(2b)) < 120°.
30° < (1/3). arccos(-c/(2b)) < 40°.

pour k=0 on a 30° < [(1/3). arccos(-c/(2b)) + (2kPi/3)] < 40°.
pour k=1 on a 150° < [(1/3). arccos(-c/(2b)) + (2kPi/3)] < 160°.
pour k=2 on a 270° < [(1/3). arccos(-c/(2b)) + (2kPi/3)] < 280°.

La solution avec k=1 amène une valeur négative pour x et est à rejeter.

Les 2 solutions sont donc données par :
x = 2b.cos[(1/3). arccos(-c/(2b))]
et
x = 2b.cos[(1/3). arccos(-c/(2b)) + (4Pi/3)]

Dans ces solutions on a, conformément au désir de Monsieur Djelloul Sebaa,
les valeurs de x exprimées en fonction des valeurs des coéfficients c et b.


Réponse Question 2 de Djelloul Sebaa le 7 Avril 2001 à 2h 31:

Bonjour amis du forum,
En 1572, le mathématicien publie " Algèbre " où il fait mention des nombres complexes, l'équation X^3=51X+104 peut enfin être résolue par la méthode de
Cardan bien que le discriminant de l'équation (E1) soit négatif. Reprenons le problème : U+V=104 et   (U.V)^1/3 =17     D'où le système suivant :

U =104-V
V^2 -104V+17^3 = 0

Le discriminant est négatif et vaut -8836=(94i)². Les solutions sont U=52-47i et V=52+47i. Or étant donné que (4-i)^3=U et que (4+i)^3=V, on en déduit que X=8. (Ref : extrait du site: www.archimaths.net).
En se reférant à la solution décrite ci-dessus, la solution de l'équation du 3ème degré dont la forme est:
                       x^3 - 3b^2x + cb^2 = 0  
(tel que les coefficients b et c sont positifs, avec b>c), s'écrit comme suit:
                      x = U^1/3 + V^1/3
on déduit que:
   U = - cb^2/2 + b^2/2 ( 4b^2 - c^2)^1/2.i (i^2 = -1)
   V = - cb^2/2 - b^2/2 ( 4b^2 - c^2)^1/2.i  Posons:   U = (A + Bi)^3  
          V = (A - Bi)^3  (A et B appartiennent à l'ensemble des nombres réels).
Question: Calculer  A et B en fonction de b et c, de telle façon
que:  x = 2A

Réponse Question 2 de Jean Jacquelin le 6 Avril 2001 à 12h 12 :

Rappelons la formule dite de Cardan, mais en réalité trouvée par Tartaglia (1539), qui s'écrit de la façon suivante, sous la forme "moderne":

En partant de l'équation réduite : z^3+p.z+q=0.

u=(-(q/2)+[(q/2)^2+(p/3)^3]^(1/2) )^(1/3).

v=-p/(3u).

Ceci donne une première solution z=u+v .

Les deux autres solutions sont ensuite obtenues en posant :

r =[-1+3^(1/2).i]/2 et s=[-1-3^(1/2).i]/2.

Seconde solution : z=r.u+s.v.

Troisième solution : z=s.u+r.v.

CAS DE CE PROBLEME : x^3-3(b^2)x+c.b^2=0, avec c>b>0.

L'étude la fonction f(x)=x^3-3(b^2)x+c.b^2 (en calculant sa dérivée, la valeur où elle s'annule et la valeur de f à ce point) montre facilement que l'on a les cas suivants:

Si c<2b, il n'y a qu'une seule racine négative.

Si c=2b, il y a une racine positive double : x=b.

Si c<2b, il y a deux racines positives.

Comme l'étude est demandée dans le domaine x>0, on ne considère donc que le cas b<c<2b, (qui, en fait, est le plus simple).

Posons z=x/b , on obtient l'équation réduite ci-dessus, avec p=-3 et q=c/b, ce qui donne :

u=(-(c/2b)+[(c/2b)^2-1]^(1/2) )^(1/3).

v=1/u.

Première solution x=(u+v).b.

Puisque c>2b, u est réel et cette solution est réelle.

On a alors deux possibilités :

- soit connaissant cette racine réelle, il est toujours possible de réduire l'équation du troisième degré à une équation du second degré que l'on résout ensuite.

- soit on passe par les complexes r et s, et on sépare les parties réelles et imaginaires. Dans le cas présent, à la fin du calcul on trouvera que les parties imaginaires sont nulles puisque l'équation a trois racines réelles dont deux positives. Le calcul des parties réelles donnera les deux autres racines. C'est possible, mais fastidieux ! Alors, bon courage…

Réponse Question 1 de J-P Houbard le 22 Mars 2001 à 13h40 :

On trouvera les 3 racines qui ici sont réelles avec k =0, 1 et 2, il suffira de garder les racines qui nous intéressent (x>0). Il reste à vérifier qu’il est possible de trouver une valeur décente pour cos(3Teta). Par hypothése on a b et c positifs.
c inférieur à b (c<b). Ceci donne 0<c/(2b)<0.5 , donc pas de problème pour avoir -1<cos(3Teta) < 1.
Il n'y aura donc jamais de problème pour trouver les racines de cette équation avec les restrictions imposées par l'énoncé.
Exemple chiffré

Réponse Question 1 d'Alain Larroche le 21 Mars 2001 à 18h44 :

Bonjour, je peux vous donner un indice en attendant la réponse définitive de nos internautes:
Vous considérez la fonction f définie par f(x) = x³-3b²x+cb².
f'(x) = 3x² - 3b² est donc nulle pour x= b, puisque x est positif.
f est décroissante entre 0 et b puis croissante de b à + l'infini.
Etudiez le signe de f(b).

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