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 Question d'Olivier Guin du
27/09/01 à 15h 21 :On sait que
dans un espace complet, la convergence absolue entraîne la convergence simple. Quelqu'un
saurait-il trouver un contre-exemple,
c'est-à-dire un espace non complet dans lequel cette propriété n'est plus vraie ?
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Réponse de Pierre Renfer du
30/09/01 à 19h 21 :Un exemple dans l'espace incomplet Q : soit
f(x) = 1 -  . La
fonction f admet en 0 un dévelopement en série entière , à coefficients positifs. Pour
x = 3/4 , on obtient une série de rationnels positifs convergeant dans Q. Pour x = - 3/4
, on obtient une série de rationnels convergeant dans R, mais pas dans Q. Or la première
série a pour terme général la valeur absolue du terme général de la seconde !
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Espace complet
